Considere uma função contínua
definida no intervalo
. Mostre que se a imagem de
é um conjunto enumerável então
é constante.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é contínua em um intervalo
e a imagem
é enumerável, então
é constante. Vamos usar dois fatos fundamentais:
- O Teorema do Valor Intermediário, que diz que a imagem de um intervalo por uma função contínua é um intervalo em
. - Qualquer intervalo não degenerado em
(isto é, com mais de um ponto) é não enumerável.
Passo 2
Suponha, por contradição, que
não seja constante. Então existem
tais que
. Defina
Pelo Teorema do Valor Intermediário, todo valor
em
é assumido por
em algum ponto de
. Ou seja,
Passo 3
O intervalo
é não degenerado (pois
por hipótese) e, em consequência, é um conjunto de cardinalidade do contínuo, logo não é enumerável. Mas isso contradiz a hipótese de que
é enumerável. A única forma de evitar essa contradição é ter
, ou seja,
.