Considere uma função contínua f: I R definida no intervalo I subset R. Mostre que se a imagem de f é um conjunto enumerável então f é constante.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se fcolon ItoR é contínua em um intervalo I e a imagem f(I) é enumerável, então f é constante. Vamos usar dois fatos fundamentais:
  1. O Teorema do Valor Intermediário, que diz que a imagem de um intervalo por uma função contínua é um intervalo em R.
  2. Qualquer intervalo não degenerado em R (isto é, com mais de um ponto) é não enumerável.

Passo 2

Suponha, por contradição, que f não seja constante. Então existem x1,x2in I tais que f(x1)neq f(x2). Defina
m = minf(x1),f(x2), M = maxf(x1),f(x2)
Pelo Teorema do Valor Intermediário, todo valor t em [m,M] é assumido por f em algum ponto de I. Ou seja,
[m,M]subset f(I)

Passo 3

O intervalo [m,M] é não degenerado (pois m<M por hipótese) e, em consequência, é um conjunto de cardinalidade do contínuo, logo não é enumerável. Mas isso contradiz a hipótese de que f(I) é enumerável. A única forma de evitar essa contradição é ter m=M, ou seja, f(x1)=f(x2).

Resposta

f é constante em todo o intervalo I.

Exercícios relacionados