Use um método adequado e resolva as integrais abaixo:
integral 1raiz-x^2+2 x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida integral 1raiz-x^2+2x,dx. Este tipo de integral envolve uma expressão quadrática sob raiz, então vamos usar completamento de quadrado para transformá-la na forma integral 1raiza^2-u^2,du, que leva diretamente a uma função arco-seno.

Passo 2

Fazendo completamento de quadrado no radicando:
-x^2+2x ;=;-,l(x^2-2xr) =-l[(x-1)^2-1r] =1-(x-1)^2

Passo 3

Definimos a substituição u = x-1. Então du = dx e a integral fica
integral 1raiz1 - u^2,du

Passo 4

Sabemos que
integral 1raiza^2-u^2,du = arcsin!l(tfracuar) + C
Aqui a=1, logo
integral 1raiz1 - u^2,du = arcsin(u) + C

Passo 5

Voltando à variável original x com u = x-1, obtemos
arcsin(x-1) + C

Resposta

arcsin(x-1) + C

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