Use um método adequado e resolva as integrais abaixo:
integral x+1x^2+4 x-7 d x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral
integral x+1x^2 + 4x - 7,dx,
que é uma função racional (grau do numerador menor que o do denominador). Vamos usar a técnica de escrever o numerador em parte como a derivada do denominador (para obter um logaritmo) e em parte como termo constante, além de completar o quadrado para o termo constante.

Passo 2

Seja
D(x) = x^2 + 4x - 7,
então
D'(x) = 2x + 4
Procuramos constantes A e B tais que
x+1 = A,(2x+4) + B
Comparando coeficientes, de x vem 2A = 1 logo A = tfrac12, e do termo constante vem
4A + B = 1 Longrightarrow 4cdottfrac12 + B = 1 Longrightarrow B = -1

Passo 3

Reescrevendo o integrando, temos
x+1D(x) = tfrac12(2x+4) - 1D(x) = tfrac12,2x+4D(x) ;-; 1D(x)
Portanto
integral x+1D(x),dx = tfrac12 integral 2x+4D(x),dx ;-;integral 1D(x),dx

Passo 4

A primeira integral é imediata, pois dD = (2x+4),dx. Assim,
tfrac12 integral 2x+4D(x),dx = tfrac12 integral dDD = tfrac12 lnl|D(x)r|

Passo 5

Para a segunda integral, completamos o quadrado no denominador:
x^2 + 4x - 7 = (x+2)^2 - 11
Logo precisamos calcular
integral dx(x+2)^2 - (raiz11)^2
Usando a fórmula
integral duu^2 - a^2 = 12a,lnl|u - au + ar|,
com u = x+2 e a = raiz11, obtemos
integral dx(x+2)^2 - 11 = 12raiz11 lnl|x+2 - raiz11x+2 + raiz11r|

Passo 6

Juntando os resultados, a integral original vale
tfrac12 lnl|x^2+4x-7r| ;-; 12raiz11 lnl|x+2 - raiz11x+2 + raiz11r| + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

integral x+1x^2 + 4x - 7,dx = 12lnl|x^2+4x-7r| -12raiz11 ln!l|x+2 - raiz11x+2 + raiz11r| + C

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