Determine as equações das retas tangente e normal à circunferência x^2+y^2=25, no ponto P0=(3,4).

Passo 1

O enunciado pede as equações da reta tangente e da reta normal à circunferência x^2+y^2=25 no ponto P0=(3,4). Aqui vamos usar dois conceitos principais: (i) diferenciação implícita para encontrar a inclinação da tangente e (ii) o fato de que a normal é perpendicular à tangente (ou, equivalentemente, coincide com o raio da circunferência no ponto).

Passo 2

Fazendo diferenciação implícita em x^2+y^2=25, temos
2x + 2y,y' = 0
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y' = -xy
No ponto P0=(3,4),
mtang = y'|(3,4) = -34

Passo 3

A reta tangente tem coeficiente angular mtang=-tfrac34 e passa por (3,4). Sua equação ponto-reta é
y - 4 = -tfrac34,(x - 3)

Passo 4

A reta normal é perpendicular à tangente, então seu coeficiente angular é o negativo do recíproco de -tfrac34, isto é,
mnorm = tfrac43,
e também passa por (3,4). Assim,
y - 4 = tfrac43,(x - 3)

Resposta

reta tangente:
y - 4 = -tfrac34,(x - 3)
reta normal:
y - 4 = tfrac43,(x - 3)

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