Considere a função
f(x, y)=cc x y cos (x+y)x^2+y^2 & (x, y) neq(0,0) 0 & (x, y)=(0,0)
O que pode dizer sobre a continuidade da função f em todo o plano R^2 ?

Passo 1

O enunciado define a função f de duas variáveis por partes e pergunta sobre sua continuidade em todo ℝ². O conteúdo é continuidade de funções de várias variáveis, e vamos usar a definição de continuidade em um ponto: o limite da função ao se aproximar dele deve coincidir com o valor da função.

Passo 2

Para (x,y) ≠ (0,0) a função f(x,y)=\frac{x y \cos(x+y)}{x2+y2} é quociente de funções contínuas (produto xy · cos(x+y) e soma x²+y² ≠ 0). Logo f é contínua em todo ponto do plano, exceto possivelmente na origem.

Passo 3

Para verificar a continuidade em (0,0) precisamos ver se \displaystyle\lim_{(x,y)→(0,0)}f(x,y)=f(0,0)=0. Se encontrarmos alguma trajetória cujo limite não seja zero, f não será contínua na origem.

Passo 4

Considere a trajetória y=x. Temos
f(x,x)=x,x,cos(2x)x^2+x^2=x^2cos(2x)2x^2=cos(2x)2

Passo 5

Fazendo x→0 obtemos
limx→0f(x,x)=cos(0)2=12neq0

Passo 6

Como o limite depende do caminho e, em particular, pelo caminho y=x obtivemos 1/2, a condição de continuidade em (0,0) falha.

Resposta

A função f é contínua em todo ponto de ℝ², exceto em (0,0), onde é descontínua.

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