Considere a função
O que pode dizer sobre a continuidade da função f em todo o plano
?
Passo 1
O enunciado define a função f de duas variáveis por partes e pergunta sobre sua continuidade em todo ℝ². O conteúdo é continuidade de funções de várias variáveis, e vamos usar a definição de continuidade em um ponto: o limite da função ao se aproximar dele deve coincidir com o valor da função.
Passo 2
Para (x,y) ≠ (0,0) a função f(x,y)=\frac{x y \cos(x+y)}{x2+y2} é quociente de funções contínuas (produto xy · cos(x+y) e soma x²+y² ≠ 0). Logo f é contínua em todo ponto do plano, exceto possivelmente na origem.
Passo 3
Para verificar a continuidade em (0,0) precisamos ver se \displaystyle\lim_{(x,y)→(0,0)}f(x,y)=f(0,0)=0. Se encontrarmos alguma trajetória cujo limite não seja zero, f não será contínua na origem.
Passo 4
Considere a trajetória y=x. Temos
Passo 5
Fazendo x→0 obtemos
Passo 6
Como o limite depende do caminho e, em particular, pelo caminho y=x obtivemos 1/2, a condição de continuidade em (0,0) falha.
Resposta
A função f é contínua em todo ponto de ℝ², exceto em (0,0), onde é descontínua.