Verifique a posição relativa entre as retas
x-15=y+2-6=z-56 e (x, y, z)=(3 t-7,2 t+2,-2 t+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar como duas retas estão posicionadas no espaço. As retas que vamos analisar são:
x-15 = y+2-6 = z-56 e (x, y, z) = (3t - 7, 2t + 2, -2t + 1)
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como forma paramétrica e vetores diretores das retas. Vamos precisar comparar essas retas para ver se elas são paralelas, se se cruzam ou se são “embaixo da grade” (skew).

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a primeira reta para a forma paramétrica. A equação dada é simétrica:
x-15 = y+2-6 = z-56 = lambda (vamos chamar o parâmetro de lambda) â
Então, podemos escrever as equações paramétricas dessa reta:
x = 5lambda + 1 y = -6lambda - 2 z = 6lambda + 5
Agora, para a segunda reta, a forma paramétrica já está dada com o parâmetro $ t $:
t

Passo 3

Vamos identificar os vetores diretores de cada reta. O vetor diretor é o coeficiente que multiplica o parâmetro em cada equação paramétrica.
Para a primeira reta:
d1 = lang<= 5, -6, 6 rang<=
Para a segunda reta:
d2 = lang<= 3, 2, -2 rang<=
Agora, precisamos verificar se esses vetores são paralelos. Se forem múltiplos um do outro, as retas são paralelas.

Passo 4

Vamos comparar os componentes dos vetores diretores:
53 neq -62 neq 6-2
Como as razões não são iguais, os vetores diretores não são múltiplos um do outro. Portanto, as retas não são paralelas.

Passo 5

Como as retas não são paralelas, precisamos verificar se elas se cruzam em algum ponto, ou seja, se existe algum par de parâmetros $ \lambda $ e $ t $ que satisfaça as equações das retas simultaneamente.
Igualando as componentes:
lambda
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar $ \lambda $ e $ t $.

Passo 6

Primeiro, da primeira equação:
5lambda + 1 = 3t - 7 Rightarrow 5lambda - 3t = -8 (1)
Da segunda equação:
-6lambda - 2 = 2t + 2 Rightarrow -6lambda - 2t = 4 (2)
Da terceira equação:
6lambda + 5 = -2t + 1 Rightarrow 6lambda + 2t = -4 (3)
Vamos resolver as equações (1) e (2).
Multiplicando a equação (1) por 2:
10lambda - 6t = -16 (1a)
Multiplicando a equação (2) por 3:
-18lambda - 6t = 12 (2a)
Subtraindo (2a) de (1a):
10lambda - 6t - (-18lambda - 6t) = -16 - 12 28lambda = -28 lambda = -1
Agora, substituindo $ \lambda = -1 $ na equação (1):
lambda = -1

Passo 7

Vamos verificar se esses valores satisfazem a terceira equação:
6(-1) + 2(1) = -6 + 2 = -4
Que é igual ao lado direito da equação (3). Então, tudo está consistente.

Resposta

As retas se intersectam no ponto (x, y, z) = (3(1) -7, 2(1) +2, -2(1) +1) = (-4, 4, -1). Portanto, as retas são secantes e se cruzam nesse ponto.

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