Suponha que a taxa de variação do número
de milhas de uma estrada percorrida por uma máquina limpaneve seja inversamente proporcional à altura h da neve. Se altura da neve é de 2 polegadas, esta máquina percorre 25 milhas, mas se a altura for de 6 polegadas, ela percorre 12 milhas. Se a altura da neve for de 5 polegadas, quantas milhas esta máquina irá percorrer?
Passo 1
O enunciado diz que a taxa de variação de S em relação a h é inversamente proporcional a h, ou seja, estamos diante de uma equação diferencial do tipo
. Precisamos usar cálculo (integração) para obter S em função de h.
Passo 2
Escrevendo o modelo matemático:
Passo 3
Integramos ambos os lados em relação a h e obtemos a solução geral
Passo 4
Agora usamos as condições iniciais para determinar
e
. Para
,
e para
,
:
Passo 5
Subtraindo a segunda equação da primeira eliminamos
:
Passo 6
Como
, fica
Passo 7
Substituímos
em
para achar
, mas não precisamos do valor numérico de
isolado para calcular
. Para
,
Passo 8
Fazendo o cálculo numérico obtemos aproximadamente 14,16.
Resposta
A máquina percorrerá aproximadamente 14,16 milhas.