Suponha que a taxa de variação do número S de milhas de uma estrada percorrida por uma máquina limpaneve seja inversamente proporcional à altura h da neve. Se altura da neve é de 2 polegadas, esta máquina percorre 25 milhas, mas se a altura for de 6 polegadas, ela percorre 12 milhas. Se a altura da neve for de 5 polegadas, quantas milhas esta máquina irá percorrer?

Passo 1

O enunciado diz que a taxa de variação de S em relação a h é inversamente proporcional a h, ou seja, estamos diante de uma equação diferencial do tipo tfracdSdh=k/h. Precisamos usar cálculo (integração) para obter S em função de h.

Passo 2

Escrevendo o modelo matemático:
dSdh=kh

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a h e obtemos a solução geral
S(h)=kln h + C

Passo 4

Agora usamos as condições iniciais para determinar k e C. Para h=2, S=25 e para h=6, S=12:
25 = kln 2 + C
12 = kln 6 + C

Passo 5

Subtraindo a segunda equação da primeira eliminamos C:
25 - 12 = k(ln 2 - ln 6)

Passo 6

Como ln 2 - ln 6 = -ln 3, fica
13 = -kln 3 Rightarrow k = -13ln 3

Passo 7

Substituímos k em 25 = kln 2 + C para achar C, mas não precisamos do valor numérico de C isolado para calcular S(5). Para h=5,
S(5)=kln 5 + C = 25 + k(ln 5 - ln 2) = 25 - 13ln 3ln!l(52r)

Passo 8

Fazendo o cálculo numérico obtemos aproximadamente 14,16.

Resposta

A máquina percorrerá aproximadamente 14,16 milhas.

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