Encontrar a derivada da função servindo-se da definição de derivada:
y=1raizx. Resp. -12 x raizx.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é: encontrar a derivada da função $ y = \frac{1}{\sqrt{x}} $ usando a definição de derivada. Vamos precisar entender o que é derivada e como usar a definição dela para calcular essa derivada específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada de uma função. A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação à sua variável. Para encontrar a derivada usando a definição, usamos a fórmula:
f'(x) = limh to 0 f(x + h) - f(x)h
Nesse caso, nossa função é $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} $. Vamos aplicar a definição passo a passo.

Passo 3

Vamos substituir $ f(x) $ na fórmula da derivada:
f(x)

Passo 4

Para simplificar essa expressão, vamos encontrar um denominador comum para as frações no numerador:
1raizx + h - 1raizx = raizx - raizx + hraizx cdot raizx + h
Então, a expressão da derivada fica:
f'(x) = limh to 0 raizx - raizx + hh cdot raizx cdot raizx + h

Passo 5

Agora, para simplificar ainda mais, vamos multiplicar o numerador e o denominador por $ \sqrt{x} + \sqrt{x + h} $ para racionalizar:
raizx + raizx + h
Simplificando o numerador usando a diferença de quadrados:
f'(x) = limh to 0 (raizx - raizx + h)(raizx + raizx + h)h cdot raizx cdot raizx + h cdot (raizx + raizx + h)
Então, a expressão fica:
(raizx)^2 - (raizx + h)^2 = x - (x + h) = -h

Passo 6

Agora, podemos cancelar o $ h $ no numerador e denominador:
h

Passo 7

Com $ h $ tendendo a zero, $ \sqrt{x + h} $ se aproxima de $ \sqrt{x} $. Substituindo $ h = 0 $:
h

Resposta

A derivada da função $ y = \frac{1}{\sqrt{x}} $ é:
y = 1raizx

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