Encontrar a derivada da função servindo-se da definição de derivada:
. Resp.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é: encontrar a derivada da função $ y = \frac{1}{\sqrt{x}} $ usando a definição de derivada. Vamos precisar entender o que é derivada e como usar a definição dela para calcular essa derivada específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada de uma função. A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação à sua variável. Para encontrar a derivada usando a definição, usamos a fórmula:
Nesse caso, nossa função é $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} $. Vamos aplicar a definição passo a passo.
Passo 3
Vamos substituir $ f(x) $ na fórmula da derivada:
Passo 4
Para simplificar essa expressão, vamos encontrar um denominador comum para as frações no numerador:
Então, a expressão da derivada fica:
Passo 5
Agora, para simplificar ainda mais, vamos multiplicar o numerador e o denominador por $ \sqrt{x} + \sqrt{x + h} $ para racionalizar:
Simplificando o numerador usando a diferença de quadrados:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Agora, podemos cancelar o $ h $ no numerador e denominador:
Passo 7
Com $ h $ tendendo a zero, $ \sqrt{x + h} $ se aproxima de $ \sqrt{x} $. Substituindo $ h = 0 $:
Resposta
A derivada da função $ y = \frac{1}{\sqrt{x}} $ é: