1. Considere a função F(x)=f(x^2 cos (-pi x)). Sabendo que f^prime(-1)=pi, f^prime(0)=6 e f^prime(1)=3 pi, determine F^prime(1).
Pela regra da cadeia, temos que
F^prime(x)=f^prime(x^2 cos (-pi x)) cdot[2 x cos (-pi x)+pi x^2 sen(-pi x)]
logo
F^prime(1)=f^prime(1 cdot(-1)) cdot[2 cdot 1 cdot(-1)+pi cdot 1 cdot 0]=-2 cdot f^prime(-1)=-2 pi

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função
F(x)=fl(x^2cos(-pi x)r)
e queremos F'(1). O conteúdo necessário é a regra da cadeia, que diz que se F(x)=f(g(x)) então
F'(x)=f'l(g(x)r),g'(x)

Passo 2

Identificamos a função interna
g(x)=x^2cos(-pi x)
e a função externa f(u). Pela regra da cadeia:
F'(x)=f'l(g(x)r),g'(x)

Passo 3

Calculamos g'(x) usando produto e cadeia. Como
g(x)=x^2cdotcos(-pi x),
temos
g'(x)=2xcos(-pi x)+x^2,ddxl[cos(-pi x)r]
E
ddxl[cos(-pi x)r] =-sin(-pi x)cdot(-pi) =pisin(-pi x),
logo
g'(x)=2xcos(-pi x)+pi x^2sin(-pi x)

Passo 4

Agora avaliamos em x=1. Sabendo que cos(-pi)=cospi=-1 e sin(-pi)=0, obtemos
g(1)=1^2cdot(-1)=-1, g'(1)=2cdot1cdot(-1)+picdot1^2cdot0=-2

Passo 5

Finalmente,
F'(1)=f'l(g(1)r),g'(1)=f'(-1)cdot(-2)
Como f'(-1)=pi, segue que
F'(1)=-2pi

Resposta

-2pi

Exercícios relacionados