Exercício 10 (K.11.1 Ex. 2 A 4)
Seja f: R C uma função periódica. Dizemos que T>0 é o período fundamental de f se T é o menor número real positivo que satisfaz f(x+T)=f(x).
i) Calcule o período fundamental das seguintes funções:
cos (x), sen(x), cos (2 x), sen(2 x), cos (n x), sen(n x), cos (2 pi xk), sen(2 pi xk), cos (2 pi n xk), sen(2 pi n xk).
ii) Mostre que nem toda função periódica tem um período fundamental. (Dica: Pense na função constante)

Passo 1

O enunciado define uma função periódica fcolonRtoC e diz que T>0 é período fundamental se T é o menor número real positivo tal que
f(x+T)=f(x)
para todo x. Vamos aplicar essa definição para as funções dadas e depois mostrar que funções constantes não têm período fundamental.

Passo 2

Considere f(x)=cos(x) ou f(x)=sen(x). Sabemos que cos e sen são 2pi-periódicas, pois
cos(x+2pi)=cos(x), sen(x+2pi)=sen(x)
Não existe Tin(0,2pi) que satisfaça essas igualdades para todo x, então o período fundamental de cos(x) e de sen(x) é
T=2pi

Passo 3

Para f(x)=cos(2x) ou f(x)=sen(2x) buscamos T>0 tal que
cosl(2(x+T)r)=cos(2x), senl(2(x+T)r)=sen(2x)
Isso equivale a 2T=2pi, pois a função trigonométrica de argumento 2x repete-se sempre que 2x avança 2pi. Logo,
T=pi
é o menor período positivo.

Passo 4

Para f(x)=cos(nx) ou f(x)=sen(nx) (com ninN), o mesmo raciocínio leva a
nT=2pi Longrightarrow T=2pin,
pois queremos o menor T>0 que faz nx avançar um ciclo completo de 2pi.

Passo 5

Considere agora f(x)=cosl(tfrac2pikxr) ou f(x)=senl(tfrac2pikxr) com k>0. Escreva a=tfrac2pik. O período fundamental satisfaz
a,T=2pi Longrightarrow T=2pia=2pi2pi/k=k

Passo 6

Finalmente, para f(x)=cosl(tfrac2pi nkxr) ou f(x)=senl(tfrac2pi nkxr), temos a=tfrac2pi nk e
a,T=2pi Longrightarrow T=2pia=2pi2pi n/k=kn

Passo 7

Para mostrar que nem toda função periódica tem período fundamental, considere f(x)=C constante. Então
f(x+T)=C=f(x)
para todo T>0. Assim, qualquer T>0 é período, e não há um menor T, pois dado um T positivo podemos escolher T/2 também como período. Logo, f não possui período fundamental.

Resposta

i)
cos(x), sen(x): T=2pi cos(2x), sen(2x): T=pi cos(nx), sen(nx): T=tfrac2pin cosl(tfrac2pikxr), senl(tfrac2pikxr): T=k cosl(tfrac2pi nkxr), senl(tfrac2pi nkxr): T=tfrackn
ii) Funções constantes não têm período fundamental, pois todo T>0 é período.

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