Exercício 10 (K.11.1 Ex. 2 A 4)
Seja
uma função periódica. Dizemos que
é o período fundamental de
se
é o menor número real positivo que satisfaz
.
i) Calcule o período fundamental das seguintes funções:
.
ii) Mostre que nem toda função periódica tem um período fundamental. (Dica: Pense na função constante)
Seja
i) Calcule o período fundamental das seguintes funções:
ii) Mostre que nem toda função periódica tem um período fundamental. (Dica: Pense na função constante)
Passo 1
O enunciado define uma função periódica
e diz que
é período fundamental se
é o menor número real positivo tal que
para todo
. Vamos aplicar essa definição para as funções dadas e depois mostrar que funções constantes não têm período fundamental.
Passo 2
Considere
ou
. Sabemos que
e
são
-periódicas, pois
Não existe
que satisfaça essas igualdades para todo
, então o período fundamental de
e de
é
Passo 3
Para
ou
buscamos
tal que
Isso equivale a
, pois a função trigonométrica de argumento
repete-se sempre que
avança
. Logo,
é o menor período positivo.
Passo 4
Para
ou
(com
), o mesmo raciocínio leva a
pois queremos o menor
que faz
avançar um ciclo completo de
.
Passo 5
Considere agora
ou
com
. Escreva
. O período fundamental satisfaz
Passo 6
Finalmente, para
ou
, temos
e
Passo 7
Para mostrar que nem toda função periódica tem período fundamental, considere
constante. Então
para todo
. Assim, qualquer
é período, e não há um menor
, pois dado um
positivo podemos escolher
também como período. Logo,
não possui período fundamental.
Resposta
i)
,
:
,
:
,
:
,
:
,
:
ii) Funções constantes não têm período fundamental, pois todo
é período.