Considere a função f(x, y)=5 x y e as curvas C1: t i+t j, t in[0,1] e C2: t i+t^2 j, t in[0,1]. Qual é o valor das integrais integralC1 nabla f cdot d e integralC2 nabla f cdot d r tomando como ponto inicial P=(0,0) e como ponto
final Q=(1,1) para ambas as curvas?

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. Temos a função e duas curvas, e , definidas parametricamente. Queremos calcular as integrais de linha do gradiente de ao longo dessas curvas, indo do ponto até o ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como o gradiente e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) . O gradiente de uma função escalar partial fpartial x = 5y partial fpartial y = 5x é um vetor que aponta na direção de maior crescimento de nabla f = (5y, 5x) e é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:

Passo 3

Agora, vamos parametrizar cada curva para expressar o vetor diferencial r1(t) = (t, t), t in [0,1] . A parametrização de uma curva dxdt = 1 dydt = 1 é dada por dr1 = ( dxdt, dydt ) dt = (1, 1) dt , onde varia em um intervalo específico.
Para a curva :
As derivadas em relação a são:
Portanto, o vetor diferencial é:

Passo 4

Vamos calcular a integral ao longo da curva integralC1 nabla f cdot dr1 = integral0^1 (5y, 5x) cdot (1, 1) dt = integral0^1 5y cdot 1 + 5x cdot 1 , dt = integral0^1 (5y + 5x) , dt :
integral0^1 (5t + 5t) , dt = integral0^1 10t , dt
Como na curva , e , substituímos:

Passo 5

Agora, calculamos a integral:
integral0^1 10t , dt = 10 cdot [ t^22 ]0^1 = 10 cdot ( 12 - 0 ) = 5

Passo 6

Vamos agora repetir o processo para a curva r2(t) = (t, t^2), t in [0,1] :
dxdt = 1 dydt = 2t
As derivadas em relação a dr2 = ( dxdt, dydt ) dt = (1, 2t) dt são:
Portanto, o vetor diferencial é:

Passo 7

Calculamos a integral ao longo da curva integralC2 nabla f cdot dr2 = integral0^1 (5y, 5x) cdot (1, 2t) , dt = integral0^1 5y cdot 1 + 5x cdot 2t , dt :
integral0^1 5t^2 + 5t cdot 2t , dt = integral0^1 5t^2 + 10t^2 , dt = integral0^1 15t^2 , dt
Na curva , e , então substituímos:

Passo 8

Finalmente, calculamos a integral:
integral0^1 15t^2 , dt = 15 cdot [ t^33 ]0^1 = 15 cdot ( 13 - 0 ) = 5

Resposta

O valor das integrais é para ambas as curvas e .

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