Considere a função
e as curvas
e
. Qual é o valor das integrais
tomando como ponto inicial
e como ponto
final
para ambas as curvas?
final
Passo 1
Vamos entender o que está sendo pedido. Temos a função
e duas curvas,
e
, definidas parametricamente. Queremos calcular as integrais de linha do gradiente de
ao longo dessas curvas, indo do ponto
até o ponto
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como o gradiente e integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente de uma função escalar
é um vetor que aponta na direção de maior crescimento de
e é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:
Passo 3
Agora, vamos parametrizar cada curva para expressar o vetor diferencial
. A parametrização de uma curva
é dada por
, onde
varia em um intervalo específico.
Para a curva
:
As derivadas em relação a
são:
Portanto, o vetor diferencial é:
Passo 4
Vamos calcular a integral ao longo da curva
:
Como na curva
,
e
, substituímos:
Passo 5
Agora, calculamos a integral:
Passo 6
Vamos agora repetir o processo para a curva
:
As derivadas em relação a
são:
Portanto, o vetor diferencial é:
Passo 7
Calculamos a integral ao longo da curva
:
Na curva
,
e
, então substituímos:
Passo 8
Finalmente, calculamos a integral:
Resposta
O valor das integrais é
para ambas as curvas
e
.