Considere uma partícula sob a ação do campo de forças
, que deve ser deslocada ao longo da curva
entre os pontos
. Determine a trabalho efetuado por
.
Passo 1
O enunciado pede o trabalho realizado por um campo de forças ,F(x,y)=2x^{2},i+5y,j ao longo de uma curva paramétrica r(t)=4t,i+t^{3},j, t\in[0,2]. O conteúdo é o cálculo de integral de linha (trabalho de uma força) e vamos precisar usar parametrização, derivada vetor r’(t), produto escalar e integração.
Passo 2
Para calcular o trabalho definimos a integral de linha
Isso vem da definição de trabalho como
.
Passo 3
Primeiro encontramos a derivada da trajetória:
A ideia é expressar dr em função de
.
Passo 4
Em seguida substituímos na força o ponto
:
Passo 5
Agora fazemos o produto escalar
:
Passo 6
Finalmente, integramos de
a
:
Calculando cada parte:
Passo 7
Somando as duas contribuições:
Esse é o trabalho final.