Considere uma partícula sob a ação do campo de forças F(x, y)=2 x^2 i+5 y j, que deve ser deslocada ao longo da curva C: r(t)=4 t i+t^3 j, t in[0,2] entre os pontos A=(0,0) e B=(2,2). Determine a trabalho efetuado por F(x, y).

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado por um campo de forças ,F(x,y)=2x^{2},i+5y,j ao longo de uma curva paramétrica r(t)=4t,i+t^{3},j, t\in[0,2]. O conteúdo é o cálculo de integral de linha (trabalho de uma força) e vamos precisar usar parametrização, derivada vetor r’(t), produto escalar e integração.

Passo 2

Para calcular o trabalho definimos a integral de linha
W=integralCFcdot ,dr=integralt=0^2Fl(r(t)r)cdot r'(t),dt
Isso vem da definição de trabalho como integral Fcdot dr.

Passo 3

Primeiro encontramos a derivada da trajetória:
r(t)=(4t,,t^3)implies r'(t)=(4,,3t^2)
A ideia é expressar dr em função de dt.

Passo 4

Em seguida substituímos na força o ponto r(t):
Fl(r(t)r)=l(2(4t)^2,,5(t^3)r)=(2cdot16t^2,,5t^3)=(32t^2,,5t^3)

Passo 5

Agora fazemos o produto escalar F(r(t))cdot r'(t):
(32t^2,,5t^3)cdot(4,,3t^2)=32t^2cdot4+5t^3cdot3t^2=128t^2+15t^5

Passo 6

Finalmente, integramos de t=0 a t=2:
W=integral0^2l(128t^2+15t^5r)dt =128integral0^2t^2dt+15integral0^2t^5dt
Calculando cada parte:
128t^33|0^2=1283cdot8=10243, 15t^66|0^2=156cdot64=160

Passo 7

Somando as duas contribuições:
W=10243+160=1024+4803=15043
Esse é o trabalho final.

Resposta

W=15043

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