Considere a função custo indireta de uma firma
C(w, r, q)=A q w^{\alpha} r^{1-\alpha}, \quad 0<\alpha<1 .
(a) Mostre que as demandas condicionais de fatores podem ser derivadas a partir da dualidade entre custo e produção.
(b) Relacione a TMST com a razão entre preços dos fatores.
(c) Discuta como esse resultado auxilia engenheiros de produção na escolha ótima de tecnologia em contextos de substituição entre capital e trabalho.

Passo 1

O enunciado dá a função custo indireta
C(w,r,q)=A\,q\,w^{\alpha}r^{1-\alpha},\qquad 0<\alpha<1,
e pede três coisas:
  • (a) mostrar que as demandas condicionais de fatores (demanda por trabalho L e por capital K como funções de w,r,q) podem ser obtidas pela dualidade custo-produção;
  • (b) relacionar a TMST (taxa marginal de substituição técnica, também chamada de MRTS) com a razão entre preços dos fatores w/r;
  • (c) discutir como esse resultado ajuda engenheiros de produção a escolher tecnologia quando há substituição entre capital e trabalho.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função C(w,r,q) é a função custo mínimo necessária para produzir a quantidade q dado os preços w (salário) e r (taxa de aluguel do capital).
  • Parâmetros: A>0 (constante), 0<\alpha<1.
  • A resolução deve usar dualidade entre custo e produção (Shephard), condições de otimização e interpretação econômica.

Passo 2

Explicando a ferramenta principal: Shephard e a ideia de dualidade.
  • Intuição: a função custo indireta C(w,r,q) vem da solução do problema de minimização
\min_{L,K}\; wL + rK \quad \text{s.t.}\quad f(L,K)=q,
onde f é a função de produção. A função C dá o custo mínimo em função dos preços e da saída alvo q.
  • Teorema (Shephard / identidade de Roy): Se C(w,r,q) é a função custo associada a f, então as demandas condicionais de fatores (ou seja, as quantidades ótimas L(w,r,q) e K(w,r,q) que minimizam o custo dado q) são obtidas como derivadas parciais da função custo:
L(w,r,q)=\frac{\partial C}{\partial w}(w,r,q),\qquad K(w,r,q)=\frac{\partial C}{\partial r}(w,r,q).
  • Por que isso vale (intuição prática): ao aumentar infinitesimalmente o preço do trabalho w, o custo mínimo aumenta na proporção da quantidade ótima de trabalho utilizada; por isso a derivada de C em relação a w dá exatamente a quantidade de trabalho empregada na solução minimizadora.
Vou usar essa identidade para obter as demandas condicionais explicitamente a partir de C(w,r,q).

Passo 3

Aplicando Shephard para obter as demandas condicionais: cálculo direto das derivadas.
Temos
C(w,r,q)=A\,q\, w^{\alpha} r^{1-\alpha}.
Calculemos a derivada parcial em relação a w:
\frac{\partial C}{\partial w}(w,r,q) = A\,q\,( \alpha w^{\alpha-1}) r^{1-\alpha} = \alpha A\,q\, w^{\alpha-1} r^{1-\alpha}.
Pela identidade de Shephard:
L(w,r,q)=\frac{\partial C}{\partial w}(w,r,q) = \alpha A\,q\, w^{\alpha-1} r^{1-\alpha}.
Agora a derivada parcial em relação a r:
\frac{\partial C}{\partial r}(w,r,q) = A\,q\, w^{\alpha}\big((1-\alpha) r^{ -\alpha}\big) = (1-\alpha) A\,q\, w^{\alpha} r^{-\alpha}.
Logo, pela identidade de Shephard:
K(w,r,q)=\frac{\partial C}{\partial r}(w,r,q) = (1-\alpha) A\,q\, w^{\alpha} r^{-\alpha}.
Comentário interpretativo (passo-a-passo para a prova): sempre que vir uma função custo C(w,r,q), aplique Shephard — derive em w para obter L e em r para obter K. Aqui as fórmulas resultantes mostram como L e K mudam com w,r,q de modo explícito.

Passo 4

Validação alternativa e ligação com condições de otimização (Lagrangiano) — obtendo a condição que relaciona TMST e preços.
Para entender a relação entre TMST e w/r é útil recordar as condições de primeira ordem do problema primal de minimização de custo:
\min_{L,K}\; wL + rK \quad \text{s.t.}\quad f(L,K)=q.
Forme o Lagrangiano:
\mathcal{L}(L,K,\lambda)=wL + rK + \lambda\big(q - f(L,K)\big).
As condições de primeira ordem (assumindo interioridade e diferenciabilidade) são
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial L}= w - \lambda \frac{\partial f}{\partial L}=0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial K}= r - \lambda \frac{\partial f}{\partial K}=0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}= q - f(L,K)=0.
Das duas primeiras igualdades obtemos
\lambda \frac{\partial f}{\partial L}=w,\qquad \lambda \frac{\partial f}{\partial K}=r.
Dividindo a primeira pela segunda:
\frac{\partial f/\partial L}{\partial f/\partial K}=\frac{w}{r}.
A expressão à esquerda é exatamente a TMST (também chamada de MRTS), pois
\text{TMST} = \frac{\text{MPL}}{\text{MPK}} = \frac{\partial f/\partial L}{\partial f/\partial K}.
Portanto, a condição de custo mínimo implica a igualdade
\text{TMST} = \frac{w}{r}.
Interpretação econômica: no ponto de minimização de custo, a taxa à qual a tecnologia troca capital por trabalho (TMST) deve igualar a razão de preços dos fatores; caso contrário, seria vantajoso substituir um fator pelo outro para reduzir custo.

Passo 5

Aplicando isso ao caso implícito de função de produção tipo Cobb–Douglas e conectando com as demandas encontradas.
A forma do custo C(w,r,q)=A q w^{\alpha} r^{1-\alpha} é típica da dualidade de uma produção Cobb–Douglas com retornos constantes. Uma forma de produção compatível é
f(L,K)=B\, L^{\alpha} K^{1-\alpha},
para alguma constante B>0. (Não é preciso encontrar B para a maior parte das conclusões; o importante é que essa família gera o custo dado.)
Para essa f os produtos marginais são
\text{MPL}=\frac{\partial f}{\partial L}=\alpha B\, L^{\alpha-1} K^{1-\alpha},
\text{MPK}=\frac{\partial f}{\partial K}=(1-\alpha) B\, L^{\alpha} K^{-\alpha}.
A TMST é
\text{TMST}=\frac{\text{MPL}}{\text{MPK}}=\frac{\alpha B\, L^{\alpha-1} K^{1-\alpha}}{(1-\alpha) B\, L^{\alpha} K^{-\alpha}} = \frac{\alpha}{1-\alpha}\cdot\frac{K}{L}.
Pela condição de custo mínimo (Passo 4) temos
\frac{\alpha}{1-\alpha}\cdot\frac{K}{L}=\frac{w}{r}.
Isolando a razão capital/trabalho:
\frac{K}{L}=\frac{1-\alpha}{\alpha}\cdot\frac{w}{r}.
Essa expressão é consistente com as demandas condicionais que obtivemos por Shephard no Passo 3. Para verificar, calcule a razão K/L usando as fórmulas do Passo 3:
\frac{K}{L} = \frac{(1-\alpha) A\,q\, w^{\alpha} r^{-\alpha}}{\alpha A\,q\, w^{\alpha-1} r^{1-\alpha}} = \frac{1-\alpha}{\alpha}\cdot\frac{w}{r},
que bate exatamente com a condição MRTS = w/r. Boa — tudo coerente.

Passo 6

Comparativa estática e interpretação útil para engenheiros de produção (prática e intuição).
  1. Como as demandas reagem a mudanças de preços (derivações úteis para prova e decisões):
  • Da expressão
L(w,r,q)=\alpha A\,q\, w^{\alpha-1} r^{1-\alpha},
podemos escrever elasticidades de log:
\frac{\partial \ln L}{\partial \ln w}=\alpha-1=-(1-\alpha)<0, \qquad \frac{\partial \ln L}{\partial \ln r}=1-\alpha>0.
Isto significa: um aumento percentual em w reduz a demanda por trabalho em magnitude 1-\alpha (substituição por capital); um aumento em r aumenta a demanda por trabalho (substituição do capital por trabalho).
  • Para K,
K(w,r,q)=(1-\alpha) A\,q\, w^{\alpha} r^{-\alpha},
temos
\frac{\partial \ln K}{\partial \ln r}=-\alpha<0, \qquad \frac{\partial \ln K}{\partial \ln w}=\alpha>0.
Ou seja, subida em r reduz K; subida em w aumenta K.
  1. Interpretação tecnológica e recomendações práticas para engenheiros:
  • A igualdade \text{TMST}=w/r dá a regra prática para ajustar a combinação K/L: comparar a taxa técnica de substituição (capacidade da tecnologia de trocar trabalho por capital) com a razão de preços. Se \text{TMST} > w/r então trabalho é relativamente produtivo em termos de preço e vale a pena usar mais trabalho; se \text{TMST} < w/r então capital é relativamente barato e deve-se substituí-lo por trabalho.
  • No modelo Cobb–Douglas (elasticidade de substituição igual a 1), a resposta é proporcional e previsível: quando w aumenta, a firma reduz L e aumenta K conforme as fórmulas anteriores. Para engenheiros, isso significa planejar máquinas/tecnologias que permitam ajustar K/L quando preços de fatores mudarem.
  • O parâmetro \alpha captura a intensidade de uso de trabalho: maior \alpha significa tecnologia mais intensiva em trabalho. Escolher tecnologia (por exemplo, automação) equivale a escolher \alpha implícito. Se se espera que w suba permanentemente, pode ser ótimo escolher tecnologia com menor \alpha (mais intensiva em capital).
  • Limitação prática: Cobb–Douglas impõe elasticidade de substituição unitária — na realidade substituição pode ser mais difícil ou mais fácil. Engenheiros devem avaliar a possibilidade técnica de substituição (compatibilidade, custos fixos, curva de aprendizado), não só o preço relativo.
  1. Um conselho concreto para prova e prática: ao ter uma função custo como a dada, use Shephard para obter demandas condicionais rapidamente; use a condição \text{TMST}=w/r para interpretar o balanço preço-tecnologia; calcule elasticidades de resposta para entender sensibilidade às variações de w e r.

Resposta

(a) L(w,r,q)=\displaystyle \alpha A\,q\, w^{\alpha-1} r^{1-\alpha},\qquad K(w,r,q)=\displaystyle (1-\alpha) A\,q\, w^{\alpha} r^{-\alpha}.
(b) \displaystyle \text{TMST}=\frac{\text{MPL}}{\text{MPK}}=\frac{w}{r}\quad\Rightarrow\quad \frac{K}{L}=\frac{1-\alpha}{\alpha}\cdot\frac{w}{r}.
(c) O resultado indica que a combinação ótima K/L ajusta-se até que a taxa técnica de substituição iguale a razão de preços w/r; portanto engenheiros usam essa condição para decidir entre tecnologias (mais intensivas em trabalho ou em capital) segundo expectativas sobre w e r, avaliando também elasticidades de substituição e custos de adoção.

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