Considere a função custo indireta de uma firma
(a) Mostre que as demandas condicionais de fatores podem ser derivadas a partir da dualidade entre custo e produção.
(b) Relacione a TMST com a razão entre preços dos fatores.
(c) Discuta como esse resultado auxilia engenheiros de produção na escolha ótima de tecnologia em contextos de substituição entre capital e trabalho.
(b) Relacione a TMST com a razão entre preços dos fatores.
(c) Discuta como esse resultado auxilia engenheiros de produção na escolha ótima de tecnologia em contextos de substituição entre capital e trabalho.
Passo 1
O enunciado dá a função custo indireta
e pede três coisas:
- (a) mostrar que as demandas condicionais de fatores (demanda por trabalho
e por capital como funções de ) podem ser obtidas pela dualidade custo-produção; - (b) relacionar a TMST (taxa marginal de substituição técnica, também chamada de MRTS) com a razão entre preços dos fatores
; - (c) discutir como esse resultado ajuda engenheiros de produção a escolher tecnologia quando há substituição entre capital e trabalho.
Informações relevantes fornecidas:
- A função
é a função custo mínimo necessária para produzir a quantidade dado os preços (salário) e (taxa de aluguel do capital). - Parâmetros:
(constante), . - A resolução deve usar dualidade entre custo e produção (Shephard), condições de otimização e interpretação econômica.
Passo 2
Explicando a ferramenta principal: Shephard e a ideia de dualidade.
- Intuição: a função custo indireta
vem da solução do problema de minimização
onde
é a função de produção. A função
dá o custo mínimo em função dos preços e da saída alvo
.
- Teorema (Shephard / identidade de Roy): Se
é a função custo associada a , então as demandas condicionais de fatores (ou seja, as quantidades ótimas e que minimizam o custo dado ) são obtidas como derivadas parciais da função custo:
- Por que isso vale (intuição prática): ao aumentar infinitesimalmente o preço do trabalho
, o custo mínimo aumenta na proporção da quantidade ótima de trabalho utilizada; por isso a derivada de em relação a dá exatamente a quantidade de trabalho empregada na solução minimizadora.
Vou usar essa identidade para obter as demandas condicionais explicitamente a partir de
.
Passo 3
Aplicando Shephard para obter as demandas condicionais: cálculo direto das derivadas.
Temos
Calculemos a derivada parcial em relação a
:
Pela identidade de Shephard:
Agora a derivada parcial em relação a
:
Logo, pela identidade de Shephard:
Comentário interpretativo (passo-a-passo para a prova): sempre que vir uma função custo
, aplique Shephard — derive em
para obter
e em
para obter
. Aqui as fórmulas resultantes mostram como
e
mudam com
de modo explícito.
Passo 4
Validação alternativa e ligação com condições de otimização (Lagrangiano) — obtendo a condição que relaciona TMST e preços.
Para entender a relação entre TMST e
é útil recordar as condições de primeira ordem do problema primal de minimização de custo:
Forme o Lagrangiano:
As condições de primeira ordem (assumindo interioridade e diferenciabilidade) são
Das duas primeiras igualdades obtemos
Dividindo a primeira pela segunda:
A expressão à esquerda é exatamente a TMST (também chamada de MRTS), pois
Portanto, a condição de custo mínimo implica a igualdade
Interpretação econômica: no ponto de minimização de custo, a taxa à qual a tecnologia troca capital por trabalho (TMST) deve igualar a razão de preços dos fatores; caso contrário, seria vantajoso substituir um fator pelo outro para reduzir custo.
Passo 5
Aplicando isso ao caso implícito de função de produção tipo Cobb–Douglas e conectando com as demandas encontradas.
A forma do custo
é típica da dualidade de uma produção Cobb–Douglas com retornos constantes. Uma forma de produção compatível é
para alguma constante
. (Não é preciso encontrar
para a maior parte das conclusões; o importante é que essa família gera o custo dado.)
Para essa
os produtos marginais são
A TMST é
Pela condição de custo mínimo (Passo 4) temos
Isolando a razão capital/trabalho:
Essa expressão é consistente com as demandas condicionais que obtivemos por Shephard no Passo 3. Para verificar, calcule a razão
usando as fórmulas do Passo 3:
que bate exatamente com a condição MRTS =
. Boa — tudo coerente.
Passo 6
Comparativa estática e interpretação útil para engenheiros de produção (prática e intuição).
- Como as demandas reagem a mudanças de preços (derivações úteis para prova e decisões):
- Da expressão
podemos escrever elasticidades de log:
Isto significa: um aumento percentual em
reduz a demanda por trabalho em magnitude
(substituição por capital); um aumento em
aumenta a demanda por trabalho (substituição do capital por trabalho).
- Para
,
temos
Ou seja, subida em
reduz
; subida em
aumenta
.
- Interpretação tecnológica e recomendações práticas para engenheiros:
- A igualdade
dá a regra prática para ajustar a combinação : comparar a taxa técnica de substituição (capacidade da tecnologia de trocar trabalho por capital) com a razão de preços. Se então trabalho é relativamente produtivo em termos de preço e vale a pena usar mais trabalho; se então capital é relativamente barato e deve-se substituí-lo por trabalho. - No modelo Cobb–Douglas (elasticidade de substituição igual a 1), a resposta é proporcional e previsível: quando
aumenta, a firma reduz e aumenta conforme as fórmulas anteriores. Para engenheiros, isso significa planejar máquinas/tecnologias que permitam ajustar quando preços de fatores mudarem. - O parâmetro
captura a intensidade de uso de trabalho: maior significa tecnologia mais intensiva em trabalho. Escolher tecnologia (por exemplo, automação) equivale a escolher implícito. Se se espera que suba permanentemente, pode ser ótimo escolher tecnologia com menor (mais intensiva em capital). - Limitação prática: Cobb–Douglas impõe elasticidade de substituição unitária — na realidade substituição pode ser mais difícil ou mais fácil. Engenheiros devem avaliar a possibilidade técnica de substituição (compatibilidade, custos fixos, curva de aprendizado), não só o preço relativo.
- Um conselho concreto para prova e prática: ao ter uma função custo como a dada, use Shephard para obter demandas condicionais rapidamente; use a condição
para interpretar o balanço preço-tecnologia; calcule elasticidades de resposta para entender sensibilidade às variações de e .
Resposta
(a)
(b)
(c) O resultado indica que a combinação ótima ajusta-se até que a taxa técnica de substituição iguale a razão de preços
; portanto engenheiros usam essa condição para decidir entre tecnologias (mais intensivas em trabalho ou em capital) segundo expectativas sobre
e
, avaliando também elasticidades de substituição e custos de adoção.
(b)
(c) O resultado indica que a combinação ótima