Um mercado de chips semicondutores apresenta funções
Q_{D}=100-2 P, \quad Q_{S}=4 P-20
O governo impõe um imposto específico t=5 por unidade.
(a) Determine o novo preço pago pelos consumidores e recebido pelos produtores.
(b) Calcule a perda de eficiência (peso morto).
(c) Discuta como a elasticidade influencia a incidência do imposto.

Passo 1

O enunciado dá as funções de demanda e oferta e um imposto específico por unidade. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
  • Dados:
    • Demanda: Q_{D}=100-2P.
    • Oferta: Q_{S}=4P-20.
    • Imposto específico por unidade: t=5 (valor monetário por unidade).
  • Perguntas:
    (a) Determinar o novo preço pago pelos consumidores e o preço recebido pelos produtores após o imposto.
    (b) Calcular a perda de eficiência (peso morto).
    (c) Discutir como a elasticidade influencia a incidência do imposto.

Passo 2

Encontrar o equilíbrio inicial (sem imposto). No equilíbrio sem imposto vale Q_{D}=Q_{S}. Então:
100-2P = 4P-20.
Vou resolver passo a passo: somo 20 em ambos os lados e passo os termos em P para um lado:
100+20 = 4P+2P \quad\Rightarrow\quad 120 = 6P.
Logo
P^{*} = \frac{120}{6} = 20.
A quantidade de equilíbrio inicial é, por exemplo, usando a demanda:
Q^{*} = 100-2\cdot 20 = 100-40 = 60.
Resumo do pré-imposto: preço de equilíbrio P^{*}=20, quantidade Q^{*}=60.

Passo 3

Modelagem do imposto e relação entre preços. Vou usar a representação padrão: P_{c} = preço pago pelos consumidores (preço bruto) e P_{p} = preço recebido pelos produtores (preço líquido). O imposto específico por unidade t gera a relação
P_{c} = P_{p} + t.
A demanda é expressa em função de P_{c}: Q_{D}=100-2P_{c}. A oferta é expressa em função de P_{p}: Q_{S}=4P_{p}-20. Em equilíbrio com imposto:
100-2P_{c} = 4P_{p}-20,\qquad P_{c}=P_{p}+t.
Substituo P_{c} por P_{p}+t:
100-2(P_{p}+t) = 4P_{p}-20.
Agora eu explico o que cada termo representa: 100-2(P_{p}+t) é a quantidade demandada quando o consumidor paga P_{c}=P_{p}+t; 4P_{p}-20 é a quantidade que os produtores estão dispostos a ofertar quando recebem P_{p}.

Passo 4

Resolver a equação para P_{p} com t=5. Substituo o valor do imposto e simplifico:
100-2P_{p}-2\cdot 5 = 4P_{p}-20.
100-2P_{p}-10 = 4P_{p}-20 \quad\Rightarrow\quad 90-2P_{p}=4P_{p}-20.
Agrupo os termos em P_{p} e os constantes:
90+20 = 6P_{p} \quad\Rightarrow\quad 110 = 6P_{p}.
Então
P_{p} = \frac{110}{6} = \frac{55}{3}\approx 18{,}333\ldots
E o preço pago pelos consumidores é
P_{c} = P_{p}+t = \frac{55}{3}+5 = \frac{55}{3}+\frac{15}{3}=\frac{70}{3}\approx 23{,}333\ldots
A quantidade transacionada após o imposto é, por exemplo, usando a demanda:
Q = 100-2P_{c}=100-2\cdot\frac{70}{3}=100-\frac{140}{3}=\frac{300-140}{3}=\frac{160}{3}\approx 53{,}333\ldots

Passo 5

Calcular quanto do imposto é efetivamente suportado por consumidores e produtores (incidência numérica). A variação do preço para o consumidor é
\Delta P_{c}=P_{c}-P^{*}=\frac{70}{3}-20=\frac{70-60}{3}=\frac{10}{3}\approx 3{,}333\ldots
A variação do preço recebido pelos produtores é
\Delta P_{p}=P_{p}-P^{*}=\frac{55}{3}-20=\frac{55-60}{3}=-\frac{5}{3}\approx -1{,}666\ldots
Portanto, dos t=5 por unidade:
  • Consumidores pagam \dfrac{\Delta P_{c}}{t}=\dfrac{10/3}{5}=\dfrac{10}{15}=\dfrac{2}{3} do imposto (ou seja 2/3 de cada 5, isto é \approx 3{,}333).
  • Produtores suportam \dfrac{-\Delta P_{p}}{t}=\dfrac{5/3}{5}=\dfrac{1}{3} do imposto (isto é \approx 1{,}666).
Explicação curta do porquê: a divisão depende das inclinações das curvas (ver próximo passo sobre elasticidade).

Passo 6

Calcular a perda de eficiência (peso morto). Intuição: o imposto reduz a quantidade transacionada de Q^{*}=60 para Q=\dfrac{160}{3}. A queda na quantidade é
\Delta Q = 60-\frac{160}{3}=\frac{180-160}{3}=\frac{20}{3}\approx 6{,}666\ldots
O peso morto para um imposto específico é a área do triângulo com base \Delta Q e altura t:
\text{DWL} = \frac{1}{2}\cdot t\cdot \Delta Q.
Substituindo:
\text{DWL} = \frac{1}{2}\cdot 5\cdot \frac{20}{3} = \frac{5\cdot 20}{6} = \frac{100}{6} = \frac{50}{3}\approx 16{,}666\ldots

Passo 7

Conexão com elasticidades e discussão (parte c). Primeiro, defino elasticidade-preço pontual para quem quiser calcular: a elasticidade-preço da demanda em um ponto é
\varepsilon_{D} = \frac{dQ_{D}}{dP}\cdot\frac{P}{Q},
e da oferta
\varepsilon_{S} = \frac{dQ_{S}}{dP}\cdot\frac{P}{Q}.
Aqui dQ_{D}/dP = -2 e dQ_{S}/dP = 4. No equilíbrio inicial ( P^{*}=20, Q^{*}=60):
\varepsilon_{D} = -2\cdot\frac{20}{60} = -\frac{40}{60}=-\frac{2}{3}\approx -0{,}6667,
\varepsilon_{S} = 4\cdot\frac{20}{60} = \frac{80}{60}=\frac{4}{3}\approx 1{,}3333.
Interpretação intuitiva e regra prática:
  • A parcela do imposto que recai sobre os consumidores tende a ser maior quanto mais inelástica for a demanda em relação à oferta. De forma geral, o lado (demanda ou oferta) que é menos sensível à variação de preço (mais inelástico) arca com maior parte do imposto.
  • Para o caso linear com inclinações b na demanda e d na oferta (escrevendo Q=a-bP_{c} e Q=c+dP_{p}), a fração do imposto paga pelos consumidores resulta em d/(b+d). Aqui d=4 e b=2, então consumidores pagam 4/(4+2)=2/3 e produtores 1/3, como calculado numericamente.
    Exemplos extremos e intuição:
  • Se a demanda for perfeitamente inelástica, consumidores suportam todo o imposto.
  • Se a demanda for perfeitamente elástica, produtores suportam todo o imposto.
    Portanto, elasticidade é a chave para entender quem arca com o imposto: o lado mais inelástico perde mais poder de negociação e paga mais.

Resposta

(a) P_{c}=\dfrac{70}{3}\approx 23{,}33 (preço pago pelos consumidores); P_{p}=\dfrac{55}{3}\approx 18{,}33 (preço recebido pelos produtores).
(b) Peso morto \text{DWL}=\dfrac{50}{3}\approx 16{,}67.
(c) A incidência depende das elasticidades: o lado mais inelástico suporta a maior parte do imposto. Neste caso a demanda é relativamente mais inelástica que a oferta, por isso os consumidores pagam 2/3 do imposto e os produtores 1/3.

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