Uma empresa multiproduto fabrica dois itens,
e
, com função de custo
(a) Verifique se existem economias de escopo.
(b) Interprete o significado econômico do termo cruzado
.
(c) Aplique a interpretação a um exemplo de firma multiproduto na Engenharia (ex.: produção conjunta de coprodutos químicos).
(b) Interprete o significado econômico do termo cruzado
(c) Aplique a interpretação a um exemplo de firma multiproduto na Engenharia (ex.: produção conjunta de coprodutos químicos).
Passo 1
O enunciado dá a função de custo da firma multiproduto e pede três coisas:
- (a) verificar se existem economias de escopo;
- (b) interpretar economicamente o termo cruzado
; - (c) aplicar essa interpretação a um exemplo de firma de Engenharia (por exemplo, coprodutos químicos).
A informação relevante fornecida é a função de custo
Passo 2
Definição prática usada para economias de escopo (apenas para referência, a explicação conceitual vem depois): produzir os dois bens em conjunto tem economia de escopo se o custo conjunto for menor que o custo de produzir cada um separadamente em duas firmas distintas. Calculo dos custos “separados” (pegando explicitamente os valores com
ou
):
Custo produzindo apenas
(isto é,
):
Custo produzindo apenas
(isto é,
):
Soma dos custos separados:
Passo 3
Agora comparo soma dos separados com o custo conjunto:
- Se
então e há economias de escopo. - Se
não há vantagem nem desvantagem (caso neutro). - Se
há diseconomias de escopo: é mais barato produzir separado.
Da expressão obtida, a condição para economias de escopo é
Portanto, existem economias de escopo exatamente quando o produto
é menor que
. Se
não há vantagem; se
há diseconomias de escopo.
Uma medida relativa de economia de escopo (opcional, para intuir a magnitude) é
positivo quando há economia de escopo.
Passo 4
Vou explicar didaticamente o que significa “economias de escopo” (passo-a-passo, para você lembrar na prova):
- Ideia intuitiva: produzir dois bens juntos é vantajoso se a firma conjunta gasta menos do que duas firmas separadas produzindo cada bem. Em fórmula simples: comparar
com . - No nosso caso o termo que decide isso é
: a diferença entre “separado” e “junto” ficou sendo . Então há uma “reserva” fixa de custo (essa é uma vantagem fixa de produzir junto), mas o termo atua como um custo de interação que cresce com os níveis de produção. Se a interação for pequena (produto menor que 10), a reserva fixa vence e a firma conjunta é mais barata; se a interação for grande, ela anula a vantagem.
Dica prática para prova: calcular diretamente
,
, somar, subtrair
. Se o resultado for positivo, escreve “há economias de escopo” e já justifica com a condição resultante.
Passo 5
Interpretação matemática e econômica do termo cruzado
:
- Derivadas marginais (úteis para interpretar efeito sobre custo marginal):
Essas expressões dizem: o custo marginal de aumentar
em uma unidade é
, que cresce com
. Análogo para
.
- Segunda derivada cruzada:
Significado: produzir mais de
aumenta o custo marginal de
(e vice-versa). Em palavras simples: existe um efeito de “penalidade” mútua — os produtos competem por algum recurso ou geram interações de custo — e esse efeito é linear e simétrico aqui.
Economicamente, o termo
pode ser visto como um custo de interação entre as duas linhas de produção. Ele representa custos adicionais que aparecem apenas quando ambos os produtos são produzidos (por exemplo: manipulação conjunta, mistura indesejada, uso concorrente de um equipamento que causa maior desgaste, tratamentos de efluentes que dependem do fluxo conjunto etc.). Como é positivo, tende a reduzir as economias de escopo à medida que os volumes aumentam.
Passo 6
Exemplos numéricos ilustrativos (para você praticar na prova):
- Caso com economias de escopo:
, . Então .
Soma separados
. Diferença
: economia de escopo de magnitude absoluta
(ou relativa
).
- Caso com diseconomias de escopo:
, . Então .
Soma separados
. Diferença
: aqui é mais barato produzir separado, logo diseconomia de escopo.
Passo 7
Aplicação a um exemplo de firma na Engenharia (coprodutos químicos), com interpretação prática:
Imagine uma planta química que gera dois produtos
e
a partir de um mesmo pré-processo. Há um custo fixo de integração da planta (controle, utilidades, infraestrutura) que fornece uma “vantagem fixa” ao produzir ambos — esse é o termo
na função de custo. Porém, quando as vazões dos dois produtos crescem simultaneamente, surgem custos adicionais de interação: maior taxa de mistura, necessidade de tratamentos de efluentes proporcionais ao fluxo combinado, troca de seringas/linhas com limpeza mais frequente, risco de contaminação cruzada que exige etapas extras de separação. Um modelo simples para esses custos adicionais é que eles crescem com o produto das quantidades produzidas — isto é exatamente o termo
.
Na prática, então:
- Se as quantidades produzidas de cada coproduto forem pequenas (produto
), a economia de compartilhar infraestrutura vence — melhor produzir junto na mesma planta. - Se ambos os fluxos forem muito grandes, os custos de interação superam a vantagem fixa, e pode ser preferível separar as linhas de produção ou ter instalações dedicadas.
Essa é uma tradução direta do papel do termo cruzado na função de custo para uma situação de Engenharia de processos.
Passo 8
Resumo operacional para a prova (o que escrever rapidamente):
- Calcule
e . - Faça a diferença com
. - Identifique o sinal e explique: positivo = economias de escopo, zero = neutro, negativo = diseconomias.
- Interprete
como custo de interação que eleva os custos marginais de cada produto quando o outro aumenta.
Resposta
(a) Há economias de escopo se, e somente se,
.
(b) O termo é um custo de interação: ele aumenta o custo conjunto quando ambos os produtos são fabricados (faz com que o custo marginal de um bem cresça com a quantidade do outro), funcionando como uma “penalidade” mútua por produção simultânea.
(c) Ex.: numa planta química que produz dois coprodutos, representa a vantagem fixa de compartilhar infraestrutura;
representa custos adicionais de interação (maior tratamento de efluentes, limpeza, separação, contaminação) que tornam a produção conjunta desfavorável quando os fluxos conjurados são grandes.
(b) O termo
(c) Ex.: numa planta química que produz dois coprodutos,