Uma empresa multiproduto fabrica dois itens, q_{1} e q_{2}, com função de custo
C\left(q_{1}, q_{2}\right)=10+2 q_{1}+3 q_{2}+q_{1} q_{2}
(a) Verifique se existem economias de escopo.
(b) Interprete o significado econômico do termo cruzado q_{1} q_{2}.
(c) Aplique a interpretação a um exemplo de firma multiproduto na Engenharia (ex.: produção conjunta de coprodutos químicos).

Passo 1

O enunciado dá a função de custo da firma multiproduto e pede três coisas:
  • (a) verificar se existem economias de escopo;
  • (b) interpretar economicamente o termo cruzado q_{1}q_{2};
  • (c) aplicar essa interpretação a um exemplo de firma de Engenharia (por exemplo, coprodutos químicos).
A informação relevante fornecida é a função de custo
C\!\left(q_{1},q_{2}\right)=10+2q_{1}+3q_{2}+q_{1}q_{2}.

Passo 2

Definição prática usada para economias de escopo (apenas para referência, a explicação conceitual vem depois): produzir os dois bens em conjunto tem economia de escopo se o custo conjunto for menor que o custo de produzir cada um separadamente em duas firmas distintas. Calculo dos custos “separados” (pegando explicitamente os valores com q_{2}=0 ou q_{1}=0):
Custo produzindo apenas q_{1} (isto é, q_{2}=0):
C\!\left(q_{1},0\right)=10+2q_{1}+3\cdot 0+q_{1}\cdot 0=10+2q_{1}.
Custo produzindo apenas q_{2} (isto é, q_{1}=0):
C\!\left(0,q_{2}\right)=10+2\cdot 0+3q_{2}+0\cdot q_{2}=10+3q_{2}.
Soma dos custos separados:
C\!\left(q_{1},0\right)+C\!\left(0,q_{2}\right)=\bigl(10+2q_{1}\bigr)+\bigl(10+3q_{2}\bigr)=20+2q_{1}+3q_{2}.

Passo 3

Agora comparo soma dos separados com o custo conjunto:
\begin{aligned} \Delta &\equiv C\!\left(q_{1},0\right)+C\!\left(0,q_{2}\right)-C\!\left(q_{1},q_{2}\right) \\\ &= \bigl(20+2q_{1}+3q_{2}\bigr)-\bigl(10+2q_{1}+3q_{2}+q_{1}q_{2}\bigr) \\\ &=10-q_{1}q_{2}. \end{aligned}
  • Se \Delta>0 então C(q_{1},q_{2})<C(q_{1},0)+C(0,q_{2}) e há economias de escopo.
  • Se \Delta=0 não há vantagem nem desvantagem (caso neutro).
  • Se \Delta<0 há diseconomias de escopo: é mais barato produzir separado.
Da expressão obtida, a condição para economias de escopo é
10-q_{1}q_{2}>0\quad\Longleftrightarrow\quad q_{1}q_{2}<10.
Portanto, existem economias de escopo exatamente quando o produto q_{1}q_{2} é menor que 10. Se q_{1}q_{2}=10 não há vantagem; se q_{1}q_{2}>10 há diseconomias de escopo.
Uma medida relativa de economia de escopo (opcional, para intuir a magnitude) é
S=\frac{C(q_{1},0)+C(0,q_{2})-C(q_{1},q_{2})}{C(q_{1},q_{2})}=\frac{10-q_{1}q_{2}}{C(q_{1},q_{2})},
positivo quando há economia de escopo.

Passo 4

Vou explicar didaticamente o que significa “economias de escopo” (passo-a-passo, para você lembrar na prova):
  • Ideia intuitiva: produzir dois bens juntos é vantajoso se a firma conjunta gasta menos do que duas firmas separadas produzindo cada bem. Em fórmula simples: comparar C(q_{1},q_{2}) com C(q_{1},0)+C(0,q_{2}).
  • No nosso caso o termo que decide isso é q_{1}q_{2}: a diferença entre “separado” e “junto” ficou sendo 10-q_{1}q_{2}. Então há uma “reserva” fixa de custo 10 (essa é uma vantagem fixa de produzir junto), mas o termo q_{1}q_{2} atua como um custo de interação que cresce com os níveis de produção. Se a interação q_{1}q_{2} for pequena (produto menor que 10), a reserva fixa vence e a firma conjunta é mais barata; se a interação for grande, ela anula a vantagem.
Dica prática para prova: calcular diretamente C(q_{1},0), C(0,q_{2}), somar, subtrair C(q_{1},q_{2}). Se o resultado for positivo, escreve “há economias de escopo” e já justifica com a condição resultante.

Passo 5

Interpretação matemática e econômica do termo cruzado \,q_{1}q_{2}:
  • Derivadas marginais (úteis para interpretar efeito sobre custo marginal):
\frac{\partial C}{\partial q_{1}}=2+q_{2},\qquad \frac{\partial C}{\partial q_{2}}=3+q_{1}.
Essas expressões dizem: o custo marginal de aumentar q_{1} em uma unidade é 2+q_{2}, que cresce com q_{2}. Análogo para q_{2}.
  • Segunda derivada cruzada:
\frac{\partial^{2}C}{\partial q_{1}\partial q_{2}}=1>0.
Significado: produzir mais de q_{2} aumenta o custo marginal de q_{1} (e vice-versa). Em palavras simples: existe um efeito de “penalidade” mútua — os produtos competem por algum recurso ou geram interações de custo — e esse efeito é linear e simétrico aqui.
Economicamente, o termo \,q_{1}q_{2} pode ser visto como um custo de interação entre as duas linhas de produção. Ele representa custos adicionais que aparecem apenas quando ambos os produtos são produzidos (por exemplo: manipulação conjunta, mistura indesejada, uso concorrente de um equipamento que causa maior desgaste, tratamentos de efluentes que dependem do fluxo conjunto etc.). Como é positivo, tende a reduzir as economias de escopo à medida que os volumes aumentam.

Passo 6

Exemplos numéricos ilustrativos (para você praticar na prova):
  • Caso com economias de escopo: q_{1}=2, q_{2}=3. Então q_{1}q_{2}=6<10. C(2,3)=10+2\cdot 2+3\cdot 3+2\cdot 3=29,
C(2,0)=10+2\cdot 2=14,\qquad C(0,3)=10+3\cdot 3=19,
Soma separados =33. Diferença 33-29=4>0: economia de escopo de magnitude absoluta 4 (ou relativa 4/29\approx0{,}138).
  • Caso com diseconomias de escopo: q_{1}=5, q_{2}=3. Então q_{1}q_{2}=15>10. C(5,3)=10+2\cdot 5+3\cdot 3+5\cdot 3=44,
C(5,0)=20,\qquad C(0,3)=19,
Soma separados =39. Diferença 39-44=-5<0: aqui é mais barato produzir separado, logo diseconomia de escopo.

Passo 7

Aplicação a um exemplo de firma na Engenharia (coprodutos químicos), com interpretação prática:
Imagine uma planta química que gera dois produtos A e B a partir de um mesmo pré-processo. Há um custo fixo de integração da planta (controle, utilidades, infraestrutura) que fornece uma “vantagem fixa” ao produzir ambos — esse é o termo 10 na função de custo. Porém, quando as vazões dos dois produtos crescem simultaneamente, surgem custos adicionais de interação: maior taxa de mistura, necessidade de tratamentos de efluentes proporcionais ao fluxo combinado, troca de seringas/linhas com limpeza mais frequente, risco de contaminação cruzada que exige etapas extras de separação. Um modelo simples para esses custos adicionais é que eles crescem com o produto das quantidades produzidas — isto é exatamente o termo q_{1}q_{2}.
Na prática, então:
  • Se as quantidades produzidas de cada coproduto forem pequenas (produto q_{1}q_{2}<10), a economia de compartilhar infraestrutura vence — melhor produzir junto na mesma planta.
  • Se ambos os fluxos forem muito grandes, os custos de interação superam a vantagem fixa, e pode ser preferível separar as linhas de produção ou ter instalações dedicadas.
Essa é uma tradução direta do papel do termo cruzado na função de custo para uma situação de Engenharia de processos.

Passo 8

Resumo operacional para a prova (o que escrever rapidamente):
  • Calcule C(q_{1},0) e C(0,q_{2}).
  • Faça a diferença com C(q_{1},q_{2}).
  • Identifique o sinal e explique: positivo = economias de escopo, zero = neutro, negativo = diseconomias.
  • Interprete q_{1}q_{2} como custo de interação que eleva os custos marginais de cada produto quando o outro aumenta.

Resposta

(a) Há economias de escopo se, e somente se, q_{1}q_{2}<10.
(b) O termo q_{1}q_{2} é um custo de interação: ele aumenta o custo conjunto quando ambos os produtos são fabricados (faz com que o custo marginal de um bem cresça com a quantidade do outro), funcionando como uma “penalidade” mútua por produção simultânea.
(c) Ex.: numa planta química que produz dois coprodutos, 10 representa a vantagem fixa de compartilhar infraestrutura; q_{1}q_{2} representa custos adicionais de interação (maior tratamento de efluentes, limpeza, separação, contaminação) que tornam a produção conjunta desfavorável quando os fluxos conjurados são grandes.

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