Considere a função
, dada por
Calcule o gradiente
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o gradiente da função $ f(x, y, z) = x^{3} - x z^{2} + 2 y^{2} z - 3 y^{3} $ no ponto
. Para isso, vamos trabalhar com cálculo multivariável, especificamente com derivadas parciais que nos ajudam a encontrar o gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente de uma função. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de uma função em relação às suas variáveis. No nosso caso, a função $ f $ tem três variáveis: $ x $, $ y $ e $ z $. Então, o gradiente será:
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial uma por uma.
-
Derivada parcial em relação a $ x $:Derivando termo a termo:
- A derivada de $ x^{3} $ em relação a $ x $ é $ 3x^{2} $.
- A derivada de $ -x z^{2} $ em relação a $ x $ é $ -z^{2} $ (já que $ z $ é tratada como constante).
- Os termos $ 2 y^{2} z $ e $ -3 y^{3} $ não contêm $ x $, então suas derivadas são $ 0 $.
Então: -
Derivada parcial em relação a $ y $:Derivando termo a termo:
- Os termos $ x^{3} $ e $ -x z^{2} $ não contêm $ y $, então suas derivadas são $ 0 $.
- A derivada de $ 2 y^{2} z $ em relação a $ y $ é $ 4 y z $ (usando a regra da potência).
- A derivada de $ -3 y^{3} $ em relação a $ y $ é $ -9 y^{2} $.
Então: -
Derivada parcial em relação a $ z $:Derivando termo a termo:
- Os termos $ x^{3} $ e $ -3 y^{3} $ não contêm $ z $, então suas derivadas são $ 0 $.
- A derivada de $ -x z^{2} $ em relação a $ z $ é $ -2x z $.
- A derivada de $ 2 y^{2} z $ em relação a $ z $ é $ 2 y^{2} $.
Então:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais, vamos montar o vetor gradiente:
Passo 5
Vamos substituir os valores $ x = 1 $, $ y = -1 $ e $ z = -1 $ na expressão do gradiente:
-
Para a componente $ x $:
-
Para a componente $ y $:
-
Para a componente $ z $: