Considere a função f: R^3 R, dada por
f(x, y, z)=x^3-x z^2+2 y^2 z-3 y^3
Calcule o gradiente nabla f(1,-1,-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o gradiente da função $ f(x, y, z) = x^{3} - x z^{2} + 2 y^{2} z - 3 y^{3} $ no ponto f(x, y, z) = x^3 - x z^2 + 2 y^2 z - 3 y^3 . Para isso, vamos trabalhar com cálculo multivariável, especificamente com derivadas parciais que nos ajudam a encontrar o gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente de uma função. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de uma função em relação às suas variáveis. No nosso caso, a função $ f $ tem três variáveis: $ x $, $ y $ e $ z $. Então, o gradiente será:
f

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial uma por uma.
  1. Derivada parcial em relação a $ x $:
    x
    Derivando termo a termo:
    • A derivada de $ x^{3} $ em relação a $ x $ é $ 3x^{2} $.
    • A derivada de $ -x z^{2} $ em relação a $ x $ é $ -z^{2} $ (já que $ z $ é tratada como constante).
    • Os termos $ 2 y^{2} z $ e $ -3 y^{3} $ não contêm $ x $, então suas derivadas são $ 0 $.
    Então:
    partial fpartial x = partialpartial x ( x^3 - x z^2 + 2 y^2 z - 3 y^3 )
  2. Derivada parcial em relação a $ y $:
    x^3
    Derivando termo a termo:
    • Os termos $ x^{3} $ e $ -x z^{2} $ não contêm $ y $, então suas derivadas são $ 0 $.
    • A derivada de $ 2 y^{2} z $ em relação a $ y $ é $ 4 y z $ (usando a regra da potência).
    • A derivada de $ -3 y^{3} $ em relação a $ y $ é $ -9 y^{2} $.
    Então:
    x
  3. Derivada parcial em relação a $ z $:
    3x^2
    Derivando termo a termo:
    • Os termos $ x^{3} $ e $ -3 y^{3} $ não contêm $ z $, então suas derivadas são $ 0 $.
    • A derivada de $ -x z^{2} $ em relação a $ z $ é $ -2x z $.
    • A derivada de $ 2 y^{2} z $ em relação a $ z $ é $ 2 y^{2} $.
    Então:
    -x z^2

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, vamos montar o vetor gradiente:
nabla f = ( 3x^2 - z^2, , 4 y z - 9 y^2, , -2x z + 2 y^2 )

Passo 5

Vamos substituir os valores $ x = 1 $, $ y = -1 $ e $ z = -1 $ na expressão do gradiente:
  1. Para a componente $ x $:
    x = 1
  2. Para a componente $ y $:
    y = -1
  3. Para a componente $ z $:
    z = -1

Resposta

nabla f(1, -1, -1) = ( 2, , -5, , 4 )

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