Seja f(x, y)=2-x^25-y^24. Obtenha a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto A=(2,-1, f(2,-1)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta quer que a gente encontre a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto . Isso está ligado ao assunto de Cálculo Diferencial em várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e usar a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular f(2, -1) = 2 - 2^25 - (-1)^24 = 2 - 45 - 14 , que é a coordenada z do ponto A. Substituindo os valores de x e y na função:
2 = 4020, 45 = 1620, 14 = 520
Vamos calcular isso:
f(2, -1) = 4020 - 1620 - 520 = 1920
Então:
Portanto, o ponto A é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de fx(x, y) = partialpartial x ( 2 - x^25 - y^24 ) = -2x5 em relação a fy(x, y) = partialpartial y ( 2 - x^25 - y^24 ) = -2y4 = -y2 e . Isso é importante porque as derivadas nos dão a inclinação do gráfico nas direções x e y, o que usamos para construir o plano tangente.
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto fx(2, -1) = -2 times 25 = -45 :
fy(2, -1) = -(-1)2 = 12

Passo 5

Agora, usamos a fórmula do plano tangente:
z = f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b)
Substituindo os valores:
z = 1920 + (-45)(x - 2) + (12)(y + 1)
Simplificando:
z = 1920 - 45x + 85 + 12y + 12
Somando os constantes:
1920 + 85 + 12 = 1920 + 3220 + 1020 = 6120
Então, a equação fica:
z = -45x + 12y + 6120

Resposta

A equação do plano tangente ao gráfico de z = -45x + 12y + 6120 no ponto é:

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