Seja
. Obtenha a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta quer que a gente encontre a equação do plano tangente ao gráfico da função
no ponto
. Isso está ligado ao assunto de Cálculo Diferencial em várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e usar a fórmula do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
, que é a coordenada z do ponto A. Substituindo os valores de x e y na função:
Vamos calcular isso:
Então:
Portanto, o ponto A é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. Isso é importante porque as derivadas nos dão a inclinação do gráfico nas direções x e y, o que usamos para construir o plano tangente.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
:
Passo 5
Agora, usamos a fórmula do plano tangente:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Somando os constantes:
Então, a equação fica:
Resposta
A equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
é: