O gráfico da equação 9 x^2+4 y^2-9 z^2-18 x-36 z+9=0 é um(a)
(D) Hiperboloide de uma folha.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a superfície dada pela equação 9x^2 + 4y^2 - 9z^2 - 18x - 36z + 9 = 0. O conteúdo é estudo de superfícies quádricas e vamos precisar completar quadrados e colocar a equação na forma padrão para identificar o tipo.

Passo 2

Agrupamos os termos em x, y e z e completamos quadrados:
Para x:
9x^2 -18x = 9l(x^2 - 2xr) = 9l((x-1)^2 -1r) = 9(x-1)^2 - 9
Para z:
-9z^2 -36z = -9l(z^2 + 4zr) = -9l((z+2)^2 -4r) = -9(z+2)^2 + 36
O termo em y já está quadrático simples: 4y^2.

Passo 3

Substituímos de volta na equação original e combinamos constantes:
9(x-1)^2 + 4y^2 - 9(z+2)^2 - 9 + 36 + 9 = 0
Logo:
9(x-1)^2 + 4y^2 - 9(z+2)^2 + 36 = 0
Isolando os quadrados:
9(x-1)^2 + 4y^2 - 9(z+2)^2 = -36

Passo 4

Multiplicando por -1 e dividindo por 36 para obter forma padrão:
-9(x-1)^2 - 4y^2 + 9(z+2)^2 = 36
(z+2)^24 - (x-1)^24 - y^29 = 1

Passo 5

Na forma padrão vemos um termo quadrático positivo e dois negativos. Isso caracteriza um hiperbolóide de duas folhas: um único termo com sinal positivo gera duas folhas ao longo do eixo correspondente.

Resposta

Hiperbolóide de duas folhas

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