Se f(x, y, z)=x y^3-x^2 z, x(t)=t^2, y(t)=t^3 e z(t)=t^4, então d f / d t ê igual a
(A) (y^3-2 x z) cdot t^2+3 x y^2 cdot t^3-x^2 cdot t^4.
(B)
© (x y^3.
(D) (y^3-2 x z) cdot 2 t+(3 x y^2-2 x z) cdot 3 t^2+(3 x y^2-x^2) cdot 4 t^3.
F) outro valor. (y^3-2 x z) cdot 2 t+(3 y^3-x^2 z) cdot 2 t+3 x y^2 cdot 3 t^2-x^2 cdot 4 t^3.

Passo 1

O enunciado pede a derivada total df/dt de f(x,y,z)=x y^3 - x^2 z sabendo que x(t)=t^2, y(t)=t^3 e z(t)=t^4. O conteúdo é derivada composta (regra da cadeia) para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=y^3-2xz,
partial fpartial y=3xy^2,
partial fpartial z=-x^2
Em seguida, obtemos as derivadas de x(t), y(t) e z(t):
dxdt=2t,
dydt=3t^2,
dzdt=4t^3
Agora aplicamos a regra da cadeia:
dfdt=partial fpartial xdxdt+partial fpartial ydydt+partial fpartial zdzdt

Passo 3

Substituindo os resultados:
dfdt=(y^3-2xz)cdot2t+3xy^2cdot3t^2+(-x^2)cdot4t^3
dfdt=2t(y^3-2xz)+9t^2xy^2-4t^3x^2

Passo 4

Comparando com as opções dadas, nenhuma coincide exatamente, então a resposta correta é a opção “outro valor”.

Resposta

dfdt=2t,(y^3-2xz)+9t^2,x y^2-4t^3,x^2

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