Considere a função dada por
f(x, y)=l 5 x y^2x^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)
Calcule
f(1,2)-partial fpartial x(1,2)+partial fpartial y(1,2)-partial fpartial x(0,0)

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular uma expressão envolvendo a função e suas derivadas parciais. Estamos trabalhando com Cálculo de Derivadas Parciais. Para resolver, vamos precisar avaliar a função em pontos específicos e calcular suas derivadas parciais em determinados pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular f(x, y) = 5xy^2x^2 + y^2 se (x, y) neq (0,0) . A função é definida por:
f(1,2) = 5 times 1 times 2^21^2 + 2^2 = 5 times 1 times 41 + 4 = 205 = 4
Substituindo e :

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial x = (x^2 + y^2)(5y^2) - 5xy^2(2x)(x^2 + y^2)^2 em relação a partial fpartial x(1,2) = (1 + 4)(20) - 20 times 225 = 5 times 20 - 4025 = 100 - 4025 = 6025 = 2,4 no ponto , ou seja, .
Usamos a Regra do Quociente para derivadas parciais:
Substituindo e :

Passo 4

Em seguida, calculamos a derivada parcial de partial fpartial y = (x^2 + y^2)(10xy) - 5xy^2(2y)(x^2 + y^2)^2 em relação a partial fpartial y(1,2) = 5 times 10 times 1 times 2 - 20 times 425 = 100 - 8025 = 2025 = 0,8 no ponto , ou seja, .
Usando novamente a Regra do Quociente:
Substituindo e :

Passo 5

Agora, precisamos calcular a derivada parcial de partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h,0) - f(0,0)h = limh to 0 0 - 0h = 0 em relação a no ponto , ou seja, .
Como a função está definida como , calculamos a derivada usando o limite:

Passo 6

Finalmente, substituímos todos os valores na expressão original:
f(1,2) - partial fpartial x(1,2) + partial fpartial y(1,2) - partial fpartial x(0,0) = 4 - 2,4 + 0,8 - 0 = 2,4

Resposta

O valor final da expressão é 2,4.

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