O enunciado pede pra estudarmos a derivada direcional de
no ponto (0,0), mostrar que Dvec uf(0,0)neqnabla f(0,0)cdotvec u e discutir se isso fere algum teorema. O conteúdo envolvido é derivada direcional e diferenciabilidade em R^2. Vamos precisar usar definições de derivada parcial, derivada direcional e o fato de que, se f fosse diferenciável, teríamos
Dvec uf(0,0)=nabla f(0,0)cdotvec u
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de f em (0,0). Para a direção x:
Mas nabla f(0,0)=(0,0) implica nabla f(0,0)cdotvec u=0.
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$$D_{\vec u}f(0,0)=\frac1{\sqrt2}\neq0=\nabla f(0,0)\cdot\vec u.
$$
Passo 6
Isso não contradiz nenhum teorema, porque a garantia Dvec uf(a)=nabla f(a)cdotvec u vale somente se f for diferenciável em a. Aqui f não é diferenciável em (0,0), embora existam todas as derivadas direcionais.
Passo 7
Foi assim que mostramos a desigualdade entre derivada direcional e produto escalar com o gradiente, sem violar a teoria, pois faltou a hipótese de diferenciabilidade em (0,0).
Resposta
Escolhendo vec u=(1/raiz2,1/raiz2) obtemos Dvec uf(0,0)=1/raiz2 enquanto nabla f(0,0)=(0,0) dá nabla f(0,0)cdotvec u=0. Não há contradição com nenhum teorema, pois a fórmula que iguala derivada direcional e gradiente vale apenas se f for diferenciável no ponto, o que não ocorre aqui.