(5,0) Considere a função dada por
f(x, y)=cc x y^2x^2+y^4 & , se (x, y) neq(0,0) 0 & , se (x, y)=(0,0)
(1,0) Verifique que Du f(0,0) neq nabla f(0,0) cdot u. Isso contradiz algum teorema?

Passo 1

O enunciado pede pra estudarmos a derivada direcional de
f(x,y)=dfracxy^2x^2+y^4,&(x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0)
no ponto (0,0), mostrar que Dvec uf(0,0)neqnabla f(0,0)cdotvec u e discutir se isso fere algum teorema. O conteúdo envolvido é derivada direcional e diferenciabilidade em R^2. Vamos precisar usar definições de derivada parcial, derivada direcional e o fato de que, se f fosse diferenciável, teríamos
Dvec uf(0,0)=nabla f(0,0)cdotvec u

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f em (0,0). Para a direção x:
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h=limhto00-0h=0
E, para a direção y:
partial fpartial y(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k=limkto00-0k=0
Logo
nabla f(0,0)=(0,0)

Passo 3

Agora escolhemos um vetor unitário que aponte na reta y=x, por exemplo
$$\vec u=\Bigl(\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2}\Bigr).
vec u=l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r) é
D_{\vec u}f(0,0)=\lim_{t\to0}\frac{f\bigl(t\vec u\bigr)-f(0,0)}t
=\lim_{t\to0}\frac{f\bigl(\tfrac t{\sqrt2},\tfrac t{\sqrt2}\bigr)}t.
$$

Passo 4

Precisamos então avaliar
fl(tfrac traiz2,tfrac traiz2r) =l(tfrac traiz2r)l(tfrac traiz2r)^2l(tfrac traiz2r)^2+l(tfrac traiz2r)^4 =t^3/(2raiz2)(t^2/2)+(t^4/4) =t^3/(2raiz2)(t^2/2)l(1+t^2/2r) =traiz2l(1+t^2/2r)
Dividindo por t e fazendo tto0:
Dvec uf(0,0)=limtto0traiz2l(1+t^2/2r)cdot1t =1raiz2

Passo 5

Comparando:
  • Temos Dvec uf(0,0)=1/raiz2.
  • Mas nabla f(0,0)=(0,0) implica
    nabla f(0,0)cdotvec u=0.
    Logo
$$D_{\vec u}f(0,0)=\frac1{\sqrt2}\neq0=\nabla f(0,0)\cdot\vec u.
$$

Passo 6

Isso não contradiz nenhum teorema, porque a garantia
Dvec uf(a)=nabla f(a)cdotvec u vale somente se f for diferenciável em a. Aqui f não é diferenciável em (0,0), embora existam todas as derivadas direcionais.

Passo 7

Foi assim que mostramos a desigualdade entre derivada direcional e produto escalar com o gradiente, sem violar a teoria, pois faltou a hipótese de diferenciabilidade em (0,0).

Resposta

Escolhendo vec u=(1/raiz2,1/raiz2) obtemos
Dvec uf(0,0)=1/raiz2 enquanto
nabla f(0,0)=(0,0) nabla f(0,0)cdotvec u=0. Não há contradição com nenhum teorema, pois a fórmula que iguala derivada direcional e gradiente vale apenas se f for diferenciável no ponto, o que não ocorre aqui.

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