Dada a E.D.O. linear não-homogênea
y^prime prime(x)+5 y^prime(x)+6 y(x)=e^-4 x
[2 , 0] utilizando o Método de Variação de Parâmetros determine a solução geral da E.D.O. não-homogênea dada.

Passo 1

O exercício pede para resolver a EDO não-homogênea y''(x)+5y'(x)+6y(x)=e^-4x usando o método de variação de parâmetros. O conteúdo aqui é EDOs lineares de 2ª ordem, e vamos precisar da solução geral da equação homogênea associada e do Wronskiano para aplicar as fórmulas de variação de parâmetros.

Passo 2

Começamos pela parte homogênea y''+5y'+6y=0. A equação característica é r^2+5r+6=0, com raízes r=-2 e r=-3. Então duas soluções independentes são y1=e^-2x e y2=e^-3x, e a solução geral homogênea é yh=C1e^-2x+C2e^-3x.

Passo 3

No método de variação de parâmetros buscamos uma solução particular da forma yp(x)=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x), impondo o sistema auxiliar
u1'y1+u2'y2=0, u1'y1'+u2'y2'=g(x),
onde g(x)=e^-4x é o termo não-homogêneo.

Passo 4

Calculamos o Wronskiano de y1 e y2:
W(y1,y2)=e^-2x&e^-3x-2e^-2x&-3e^-3x=-e^-5x Como Wneq0, elas são independentes.

Passo 5

As fórmulas de variação de parâmetros são
u1'(x)=-y2(x),g(x)W(y1,y2), u2'(x)=y1(x),g(x)W(y1,y2)

Passo 6

Substituindo y1=e^-2x, y2=e^-3x, g=e^-4x e W=-e^-5x, obtemos
$$
u_1’(x)=-\frac{e{-3x}e{-4x}}{-e{-5x}}=e{-2x},\quad
u_2’(x)=\frac{e{-2x}e{-4x}}{-e{-5x}}=-e{-x}.
$$

Passo 7

Integramos para achar u1 e u2:
$$
u_1(x)=\int e{-2x}dx=-\tfrac12e{-2x},\quad
u_2(x)=\int -e{-x}dx=e{-x}.
$$
Desprezamos constantes de integração, pois elas ficam absorvidas em u1(x)=integral e^-2xdx=-tfrac12e^-2x, u2(x)=integral -e^-xdx=e^-x .

Passo 8

Finalmente, a solução particular é
yp(x)=u1y1+u2y2=l(-tfrac12e^-2xr)e^-2x+e^-xe^-3x=tfrac12e^-4x
Assim, a solução geral da EDO é a soma de yh com yp.

Resposta

y(x)=C1e^-2x+C2e^-3x+tfrac12e^-4x

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