Prova de Cálculo III - 15 de janeiro de 2023
09:25 horas - Turma B1
Nome: duras Redrigues dos Santos Soura Assinatura: ducas Rodrigus 5. Saiga Matrícula: 2023031634
Questão 1. Encontre a área da superfície
, onde
é a parte do plano
dentro
.
09:25 horas - Turma B1
Nome: duras Redrigues dos Santos Soura Assinatura: ducas Rodrigus 5. Saiga Matrícula: 2023031634
Questão 1. Encontre a área da superfície
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a área da superfície $ S $, que é a parte do plano $ z = x + 3 $ dentro do círculo $ x^2 + y^2 = 1 $. Basicamente, estamos lidando com cálculo integral para achar áreas de superfícies. Vamos precisar usar a fórmula da área de uma superfície definida por uma função $ z = f(x, y) $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma superfície $ S $ definida por $ z = f(x, y) $. A fórmula é:
Aqui, $ D $ é a região no plano $ xy $ sobre a qual a superfície está definida.
Passo 3
No nosso caso, a função é $ f(x, y) = x + 3 $. Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula da área, temos:
Perceba que $ \sqrt{2} $ é uma constante, então podemos tirá-la da integral.
Passo 5
Agora, precisamos calcular a integral $ \iint_{D} , dA $, que representa a área da região $ D $. A região $ D $ é o círculo $ x^2 + y^2 \leq 1 $, que tem área igual a $ \pi $ (porque é um círculo de raio 1).
Passo 6
Finalmente, substituindo de volta na fórmula da área:
Resposta
A área da superfície $ S $ é $ \pi \sqrt{2} $.