3^a Prova de Cálculo III - 15 de janeiro de 2023
09:25 horas - Turma B1
Nome: duras Redrigues dos Santos Soura Assinatura: ducas Rodrigus 5. Saiga Matrícula: 2023031634
Questão 1. Encontre a área da superfície S, onde S é a parte do plano z=x+3 dentro x^2+y^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a área da superfície $ S $, que é a parte do plano $ z = x + 3 $ dentro do círculo $ x^2 + y^2 = 1 $. Basicamente, estamos lidando com cálculo integral para achar áreas de superfícies. Vamos precisar usar a fórmula da área de uma superfície definida por uma função $ z = f(x, y) $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma superfície $ S $ definida por $ z = f(x, y) $. A fórmula é:
S Á
Aqui, $ D $ é a região no plano $ xy $ sobre a qual a superfície está definida.

Passo 3

No nosso caso, a função é $ f(x, y) = x + 3 $. Vamos calcular as derivadas parciais:
f(x, y) = x + 3

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula da área, temos:
Área = integral duplaD raiz1 + (1)^2 + (0)^2 , dA = integral duplaD raiz2 , dA = raiz2 integral duplaD , dA Á
Perceba que $ \sqrt{2} $ é uma constante, então podemos tirá-la da integral.

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral $ \iint_{D} , dA $, que representa a área da região $ D $. A região $ D $ é o círculo $ x^2 + y^2 \leq 1 $, que tem área igual a $ \pi $ (porque é um círculo de raio 1).
integral duplaD , dA

Passo 6

Finalmente, substituindo de volta na fórmula da área:
Área = raiz2 times pi = pi raiz2 Á

Resposta

A área da superfície $ S $ é $ \pi \sqrt{2} $.

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