Considere a função f: R^2 R, dada por f(x, y)=2 x y^2+x^2. Calcule rivada direcional de f no ponto (2,4) ao longo do vetor v=0,6 imath+0,8 jmath.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=2xy^2+x^2 no ponto (2,4) ao longo do vetor vec v=(0.6,0.8). O conteúdo é derivada direcional, e vamos precisar do gradiente de f e do produto escalar com o vetor unitário.

Passo 2

Para encontrar o gradiente, calculamos as derivadas parciais. A derivada parcial em relação a x indica como f varia quando mexemos só em x, e a de y quando mexemos só em y. Temos:
partial fpartial x(x,y)=2y^2+2x,
partial fpartial y(x,y)=4xy

Passo 3

Agora avaliamos essas parciais no ponto (2,4). Substituindo x=2 e y=4:
partial fpartial x(2,4)=2cdot4^2+2cdot2=2cdot16+4=36,
partial fpartial y(2,4)=4cdot2cdot4=32
Então nabla f(2,4)=(36,32).

Passo 4

Precisamos verificar se vec v é unitário. A norma de (0.6,0.8) é
raiz0.6^2+0.8^2=raiz0.36+0.64=1,
então dá para usar direto esses componentes.

Passo 5

A derivada direcional é o produto escalar de nabla f(2,4) com vec v:
Dvec vf(2,4)=36cdot0.6+32cdot0.8=21.6+25.6=47.2

Resposta

47.2

Exercícios relacionados