Seja a função f: R^2 R, a função de x e y dada por:
f(x, y)=raiz64-x^2-y^2
Determine a imagem de f.

Passo 1

O enunciado pede a imagem (conjunto de valores que a função assume) de f(x,y)= raiz64 - x^2 - y^2. O conteúdo envolvido é análise de funções de duas variáveis, em especial determinação de domínio e avaliação de extremos para obter o intervalo de valores possíveis.

Passo 2

Para achar a imagem, primeiro identificamos o domínio de definição da função. Precisamos que o radicando seja não negativo: 64 - x^2 - y^2 >= 0. Isso define o disco fechado
x^2 + y^2 <= 64.

Passo 3

Como a raiz quadrada é função crescente para valores não negativos, os extremos de f ocorrem onde o radicando g(x,y)=64 - x^2 - y^2 atinge seus extremos no domínio.

Passo 4

O máximo de g ocorre em (0,0), com g(0,0)=64, logo fmax=raiz64=8. O mínimo de g ocorre no contorno x^2+y^2=64, onde g=0, logo fmin=0.

Passo 5

Portanto, a função varia de 0 até 8, incluindo ambos os extremos.

Resposta

[0,8]

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