Utilize o Teste do Hessiano e faça um estudo do(s) ponto(s) crítico(s) da zuinte função, classificando-o(s) como Mínimo Local, Máximo Local ou Ponto de Sela:
f(x, y)=3 x^2+y^2+x y-2 x-2 y

Passo 1

O enunciado pede estudar os pontos críticos da função f(x,y)=3x^2+y^2+xy-2x-2y usando o Teste do Hessiano. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais, encontrar o gradiente, resolver o sistema gradiente=0 para achar os pontos críticos e então montar a matriz Hessiana para classificá-los.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais. Temos: fx = 6x + y - 2 e fy = x + 2y - 2.

Passo 3

Encontrar o ponto crítico resolvendo o sistema fx=0, fy=0. Isto é, resolver o sistema
6x + y - 2 = 0 x + 2y - 2 = 0
Da segunda equação vem x = 2 - 2y. Substituindo na primeira:
6(2-2y) + y - 2 = 0 implies 12 - 12y + y - 2 = 0 implies -11y + 10 = 0 implies y = tfrac1011,
logo x = 2 - 2cdottfrac1011 = tfrac211.

Passo 4

Montar a matriz Hessiana cujos elementos são fxx, fxy, fyx, fyy. Temos
H = 6 & 1 1 & 2
O determinante é
D = det(H) = 6cdot2 - 1cdot1 = 11
Além disso, fxx = 6.

Passo 5

Como D > 0 e fxx > 0, a Hessiana é definida positiva, o que indica um mínimo local no ponto crítico encontrado.

Resposta

O único ponto crítico é l(tfrac211,tfrac1011r), que é um mínimo local.

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