Utilize o Teste do Hessiano e faça um estudo do(s) ponto(s) crítico(s) da zuinte função, classificando-o(s) como Mínimo Local, Máximo Local ou Ponto de Sela:
Passo 1
O enunciado pede estudar os pontos críticos da função
usando o Teste do Hessiano. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais, encontrar o gradiente, resolver o sistema gradiente=0 para achar os pontos críticos e então montar a matriz Hessiana para classificá-los.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais. Temos:
e
.
Passo 3
Encontrar o ponto crítico resolvendo o sistema
,
. Isto é, resolver o sistema
Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira:
logo
.
Passo 4
Montar a matriz Hessiana cujos elementos são
. Temos
O determinante é
Além disso,
.
Passo 5
Como
e
, a Hessiana é definida positiva, o que indica um mínimo local no ponto crítico encontrado.
Resposta
O único ponto crítico é
, que é um mínimo local.