Considere a função f: R^2 R dada por:
f(x, y)=x yx^2+y^2 se (x, y) neq(0,0) e f(0,0)=0.
Determine a curva de nível na qual a função tem valor constante igual a 12.

Passo 1

A questão pede a curva de nível de valor constante tfrac12 para a função f(x,y)=xyx^2+y^2 (com f(0,0)=0). Vamos usar o conceito de nível: resolver f(x,y)=c para (x,y)neq(0,0).

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0), impomos
xyx^2+y^2=12
Multiplicando ambos os lados por x^2+y^2 obtemos
2xy=x^2+y^2
Reescrevendo, isso dá
x^2-2xy+y^2=0
que é
(x-y)^2=0

Passo 3

Logo x-y=0, ou seja, y=x. Precisamos checar o ponto (0,0): lá f(0,0)=0, não tfrac12, então o ponto não pertence à curva de nível desejada.

Resposta

A curva de nível f(x,y)=tfrac12 é a reta y=x excluindo a origem, isto é, {(x,x):x\neq0}.

Exercícios relacionados