Considere a superfície
.
Mostre que para todo ponto
o plano tangente de
que passa por
contém a origem.
Mostre que para todo ponto
Passo 1
O enunciado pede para a gente mostrar que, na superfície definida por
no ponto
Passo 2
Definimos a função implícita
A superfície é o nível zero de
Passo 3
Calculamos o gradiente:
No ponto de interesse
com
, temos
Passo 4
A equação do plano tangente pelo ponto
é
Isso dá
Como
, podemos reorganizar para
Passo 5
Basta checar que a origem
satisfaz essa equação:
Portanto a origem pertence ao plano tangente em qualquer ponto
com
.
Resposta
A equação do plano tangente é
e esse plano contém a origem pois ela satisfaz a equação (0 = 0).