Considere a superfície x^2+y^2-z^2=0, z >= 0.
Mostre que para todo ponto (x, y) neq(0,0) o plano tangente de f que passa por (x, y, f(x, y)) contém a origem.

Passo 1

O enunciado pede para a gente mostrar que, na superfície definida por
x^2 + y^2 - z^2 = 0, z >= 0,
no ponto (x,y)neq(0,0) o plano tangente à superfície em
(x,y,f(x,y)) contém a origem. O conteúdo principal aqui é geometria de superfícies definidas implicitamente e a obtenção do plano tangente via gradiente.

Passo 2

Definimos a função implícita
F(x,y,z) = x^2 + y^2 - z^2
A superfície é o nível zero de F. Para achar o plano tangente, precisamos do vetor normal dado pelo gradiente de F.

Passo 3

Calculamos o gradiente:
nabla F(x,y,z) = l(partial Fpartial x, partial Fpartial y, partial Fpartial zr) = (2x,;2y,;-2z)
No ponto de interesse P=(x,y,z) com z = f(x,y) = raizx^2+y^2, temos
nabla F(P) = l(2x,;2y,;-2raizx^2+y^2r)

Passo 4

A equação do plano tangente pelo ponto P é
nabla F(P) cdot l((X,Y,Z)-(x,y,z)r) = 0
Isso dá
2x,(X - x) + 2y,(Y - y) - 2z,(Z - z) = 0
Como x^2 + y^2 - z^2 = 0, podemos reorganizar para
xX + yY - zZ = 0

Passo 5

Basta checar que a origem (0,0,0) satisfaz essa equação:
xcdot 0 + ycdot 0 - zcdot 0 = 0
Portanto a origem pertence ao plano tangente em qualquer ponto (x,y,raizx^2+y^2)) com (x,y)neq(0,0).

Resposta

A equação do plano tangente é
xX + yY - zZ = 0,
e esse plano contém a origem pois ela satisfaz a equação (0 = 0).

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