Resolva a equação diferencial dada.
y d x+(2 x y-x) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
Temos a equação
y,dx + (2xy - x),dy = 0
O conteúdo aqui é equação diferencial de primeira ordem. Vamos tratar x como função de y e reconhecer que podemos escrever em forma linear na variável x.

Passo 2

Para colocar na forma padrão de equação linear em x, isolamos dx/dy. Partimos de
y,dx + (2xy - x),dy = 0
e escrevemos
y,dx = - (2xy - x),dy
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dxdy = -2xy - xy = -(2y - 1)xy
Isso equivale a
dxdy + l(2 - 1yr)x = 0
que é uma equação linear homogênea em x.

Passo 3

Calculamos o fator integrante. Aqui o coeficiente de x é
P(y) = 2 - 1y
Logo o fator integrante é
mu(y) = expl(integral P(y),dyr) = expl(2y - ln yr) = e^2yy

Passo 4

Multiplicamos a equação pela fator integrante e observamos que o lado esquerdo vira derivada do produto:
ddyl(x,mu(y)r) = 0
Integrando em relação a y,
x,e^2yy = C
Esse é o nosso resultado implícito.

Resposta

x e^{2y} = C,y

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