Seja f(x, y) uma função diferenciável tal que existam a e b, reais positivos, para os quais
a^2 y partial fpartial x-b^2 x partial fpartial y=0, para todo (x, y)
Verifique que f é constante sobre a elipse x^2a^2+y^2b^2=1

Passo 1

O enunciado nos dá uma função diferenciável f(x,y) sujeita à equação diferencial a^2y,fx - b^2x,fy = 0 para todo par (x,y), e pede para mostrar que f é constante sobre a elipse x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1. O conteúdo principal aqui é a interpretação geométrica de derivadas direcionais e curvas de nível.

Passo 2

Definimos a função de nível que descreve a elipse:
F(x,y) = x^2a^2 + y^2b^2
A curva F(x,y)=1 é exatamente a elipse dada. O gradiente de F é
nabla F = l(2xa^2,,2yb^2r)

Passo 3

Como curva de nível tem tangentes ortogonais ao gradiente, um vetor tangente v=(v1,v2) satisfaz
nabla Fcdot v = 2xa^2v1 + 2yb^2v2 = 0
Podemos escolher um vetor tangente proporcional a
v = l(a^2y,,-b^2xr),

Passo 4

pois substituindo em nabla Fcdot v obtemos zero. Esse v aponta sempre ao longo da elipse.
A derivada direcional de f ao longo de v é
Dv f = fx,v1 + fy,v2 = a^2y,fx - b^2x,fy,

Passo 5

que pela hipótese vale zero. Isso significa que f não muda quando nos movemos tangencialmente à elipse.
Logo, ao percorrer toda a elipse, f mantém o mesmo valor, ou seja, é constante sobre ela.

Resposta

f é constante sobre a elipse x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1.

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