Seja
uma função diferenciável tal que existam
e
, reais positivos, para os quais
Verifique que
é constante sobre a elipse
Passo 1
O enunciado nos dá uma função diferenciável f(x,y) sujeita à equação diferencial
para todo par
, e pede para mostrar que
é constante sobre a elipse
. O conteúdo principal aqui é a interpretação geométrica de derivadas direcionais e curvas de nível.
Passo 2
Definimos a função de nível que descreve a elipse:
A curva
Passo 3
Como curva de nível tem tangentes ortogonais ao gradiente, um vetor tangente
satisfaz
Podemos escolher um vetor tangente proporcional a
Passo 4
pois substituindo em
obtemos zero. Esse
aponta sempre ao longo da elipse.
A derivada direcional de ao longo de
é
A derivada direcional de
Passo 5
que pela hipótese vale zero. Isso significa que
não muda quando nos movemos tangencialmente à elipse.
Logo, ao percorrer toda a elipse, mantém o mesmo valor, ou seja, é constante sobre ela.
Logo, ao percorrer toda a elipse,
Resposta
f é constante sobre a elipse
.