Considere a função f: R^2 R dada por:
f(x, y)=x yx^2+y^2 se (x, y) neq(0,0) e f(0,0)=0.
Verifique que o conjunto de todos os pontos onde a função vale 0 coincide com a união dos eixos ordenados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis, $ f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2} $ quando $ (x, y) \neq (0,0) $ e $ f(0,0) = 0 $. Nosso objetivo é descobrir todos os pontos $ (x, y) $ onde essa função vale zero e mostrar que esses pontos são exatamente a união dos eixos coordenados (ou seja, o eixo $ x $ e o eixo $ y $). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de várias variáveis e resolver equações que envolvem essas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quando uma fração vale zero. A razão $ \frac{A}{B} $ é igual a zero quando o numerador $ A $ é zero e o denominador $ B $ não é zero. Aplicando isso à nossa função $ f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2} $, queremos que $ xy = 0 $ e $ x^2 + y^2 \neq 0 $.

Passo 3

Vamos resolver a equação $ xy = 0 $. Essa equação é satisfeita quando pelo menos um dos fatores é zero. Ou seja:
  1. $ x = 0 $
  2. $ y = 0 $

Passo 4

Agora, vamos analisar cada caso:
  1. Quando $ x = 0 $: Nesse caso, o ponto $ (0, y) $ está no eixo $ y $.
  2. Quando $ y = 0 $: Aqui, o ponto $ (x, 0) $ está no eixo $ x $.
Então, a solução $ xy = 0 $ nos dá todos os pontos que estão nos eixos $ x $ ou $ y $.

Passo 5

Além disso, devemos garantir que o denominador $ x^2 + y^2 $ não seja zero. O denominador só é zero quando $ x = 0 $ e $ y = 0 $, ou seja, no ponto $ (0,0) $. Mas nesse ponto, a função foi definida como $ f(0,0) = 0 $, então estamos tudo bem.

Passo 6

Portanto, todos os pontos onde $ f(x, y) = 0 $ são aqueles onde ou $ x = 0 $ ou $ y = 0 $, excluindo apenas o ponto $ (0,0) $, que também vale zero pela definição da função.

Passo 7

No entanto, o ponto $ (0,0) $ também faz parte da união dos eixos coordenados, já que está tanto no eixo $ x $ quanto no eixo $ y $.

Passo 8

Assim, concluímos que o conjunto de todos os pontos onde a função $ f(x, y) $ vale zero é exatamente a união dos eixos $ x $ e $ y $.

Resposta

O conjunto de todos os pontos onde $ f(x, y) = 0 $ coincide com a união dos eixos ordenados $ x $ e $ y $.

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