Considere a função
dada por:
se
e
.
Verifique que o conjunto de todos os pontos onde a função vale 0 coincide com a união dos eixos ordenados.
Verifique que o conjunto de todos os pontos onde a função vale 0 coincide com a união dos eixos ordenados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis, $ f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2} $ quando $ (x, y) \neq (0,0) $ e $ f(0,0) = 0 $. Nosso objetivo é descobrir todos os pontos $ (x, y) $ onde essa função vale zero e mostrar que esses pontos são exatamente a união dos eixos coordenados (ou seja, o eixo $ x $ e o eixo $ y $). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de várias variáveis e resolver equações que envolvem essas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quando uma fração vale zero. A razão $ \frac{A}{B} $ é igual a zero quando o numerador $ A $ é zero e o denominador $ B $ não é zero. Aplicando isso à nossa função $ f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2} $, queremos que $ xy = 0 $ e $ x^2 + y^2 \neq 0 $.
Passo 3
Vamos resolver a equação $ xy = 0 $. Essa equação é satisfeita quando pelo menos um dos fatores é zero. Ou seja:
- $ x = 0 $
- $ y = 0 $
Passo 4
Agora, vamos analisar cada caso:
- Quando $ x = 0 $: Nesse caso, o ponto $ (0, y) $ está no eixo $ y $.
- Quando $ y = 0 $: Aqui, o ponto $ (x, 0) $ está no eixo $ x $.
Então, a solução $ xy = 0 $ nos dá todos os pontos que estão nos eixos $ x $ ou $ y $.
Passo 5
Além disso, devemos garantir que o denominador $ x^2 + y^2 $ não seja zero. O denominador só é zero quando $ x = 0 $ e $ y = 0 $, ou seja, no ponto $ (0,0) $. Mas nesse ponto, a função foi definida como $ f(0,0) = 0 $, então estamos tudo bem.
Passo 6
Portanto, todos os pontos onde $ f(x, y) = 0 $ são aqueles onde ou $ x = 0 $ ou $ y = 0 $, excluindo apenas o ponto $ (0,0) $, que também vale zero pela definição da função.
Passo 7
No entanto, o ponto $ (0,0) $ também faz parte da união dos eixos coordenados, já que está tanto no eixo $ x $ quanto no eixo $ y $.
Passo 8
Assim, concluímos que o conjunto de todos os pontos onde a função $ f(x, y) $ vale zero é exatamente a união dos eixos $ x $ e $ y $.
Resposta
O conjunto de todos os pontos onde $ f(x, y) = 0 $ coincide com a união dos eixos ordenados $ x $ e $ y $.