Escreva o seguinte número complexo na forma cartesiana x+i y:
(raiz22+raiz22 i)^8

Passo 1

O enunciado pede para escrever na forma cartesiana x+iy o número complexo l(tfracraiz22+tfracraiz22ir)^8. O conteúdo aqui é exponenciação de número complexo usando a forma polar e a fórmula de De Moivre.

Passo 2

Primeiro, convertemos o fator tfracraiz22+tfracraiz22i para a forma polar. Calculamos o módulo e o argumento:
O módulo é
r=raizl(tfracraiz22r)^2+l(tfracraiz22r)^2=raiztfrac12+tfrac12=1
O argumento é
theta=arctanl(tfracraiz2/2raiz2/2r)=arctan(1)=tfracpi4
Portanto podemos escrever
tfracraiz22+tfracraiz22i=1l(costfracpi4+isintfracpi4r)=e^ipi/4

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de De Moivre: elevar ao expoente 8 significa
l(e^ipi/4r)^8=e^i,8cdot(pi/4)=e^i2pi

Passo 4

Por fim, voltamos à forma cartesiana usando que
e^i2pi=cos(2pi)+isin(2pi)=1+0,i

Passo 5

Chegamos então ao resultado final na forma cartesiana.

Resposta

1+0i

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