Nos exercícios 155 a 167, resolva cada equação.
ln (x-3)+ln (x+4)=3 ln 2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação envolvendo logaritmos: ln(x-3)+ln(x+4)=3ln2. O conteúdo é propriedades de logaritmos e cuidados com domínio.

Passo 2

Primeiro, definimos o domínio da função logaritmo: como temos ln(x-3) e ln(x+4), é necessário que x-3>0 e x+4>0. Daí, concluímos que x>3.

Passo 3

Usamos a propriedade de soma de logaritmos: ln a+ln b=ln(ab). Aplicando, obtemos:
lnl((x-3)(x+4)r)=3ln2

Passo 4

Transformamos o lado direito usando kln a=ln(a^k):
lnl((x-3)(x+4)r)=ln(2^3)=ln8

Passo 5

Com isso, igualamos os argumentos do ln (já que o ln é injetor):
(x-3)(x+4)=8

Passo 6

Expandindo o produto e reorganizando em forma de equação quadrática:
x^2+4x-3x-12=8Longrightarrow x^2+x-20=0

Passo 7

Resolvendo a equação quadrática por fórmula de Bhaskara:
x=-1pmraiz1+802=-1pm92, obtemos as raízes x=4 e x=-5.

Passo 8

Retomamos o domínio x>3, então descartamos x=-5. A única solução válida é x=4.

Resposta

x=4

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