Considere a função
dada por
Determine a direção segundo a qual a taxa de variação de
no ponto ( 1,1 ) é nula.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função $ f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} $ definida por:
O objetivo é encontrar a direção na qual a taxa de variação de $ f $ no ponto $ (1,1) $ é nula. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas parciais, gradiente e derivada direcional. Vamos seguir passo a passo.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função $ f $ no ponto $ (1,1) $. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é composto pelas derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.
Vamos calcular $ \frac{\partial f}{\partial x} $ e $ \frac{\partial f}{\partial y} $.
Para $ f(x, y) = \frac{x{4}}{x{2} + y^{2}} $, vamos usar a regra do quociente para derivar em relação a $ x $:
Simplificando:
Agora, derivamos em relação a $ y $:
Então, o gradiente $ \nabla f $ é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto $ (1,1) $. Substituindo $ x = 1 $ e $ y = 1 $:
Para $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
Para $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
Portanto, o gradiente no ponto $ (1,1) $ é:
Passo 4
A derivada direcional de $ f $ em uma direção unitária $ \mathbf{u} = (u_1, u_2) $ no ponto $ (1,1) $ é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor $ \mathbf{u} $:
Queremos que essa derivada direcional seja nula:
Passo 5
Vamos resolver a equação para encontrar a relação entre $ u_1 $ e $ u_2 $:
Isso significa que $ u_2 = 3u_1 $. Como $ \mathbf{u} $ deve ser um vetor unitário, temos que $ u_1^2 + u_2^2 = 1 $. Substituindo $ u_2 $:
Então,
Passo 6
Portanto, as direções nas quais a taxa de variação de $ f $ em $ (1,1) $ é nula são dadas pelos vetores unitários:
Resposta
A taxa de variação de $ f $ no ponto $ (1,1) $ é nula nas direções dos vetores unitários $ \left( \frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{3}{\sqrt{10}} \right) $ e $ \left( -\frac{1}{\sqrt{10}}, -\frac{3}{\sqrt{10}} \right) $.