Considere a função
dada por
Mostre que
é diferenciável
;
Passo 1
Então, temos um exercício onde precisamos mostrar que a função $ f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} $ definida por
é diferenciável em
. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre continuidade e derivadas parciais, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função $ f $ é contínua em
. Para isso, precisamos ver se o limite de $ f(x, y) $ quando
se aproxima de
é igual a $ f(0,0) $, que é 0.
Passo 3
Calculando o limite:
Podemos observar que o numerador $ x^{4} $ vai para 0 mais rápido que o denominador $ x{2}+y{2} $, então o limite é 0. Assim, a função é contínua em
.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ no ponto
.
Passo 5
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
Então, $ f_x(0,0) = 0 $.
Passo 6
A derivada parcial em relação a $ y $ é:
Então, $ f_y(0,0) = 0 $.
Passo 7
Com as derivadas parciais calculadas e iguais a zero, vamos usar o teste de diferenciabilidade. A função $ f $ é diferenciável em
se:
Substituindo os valores:
Passo 8
Vamos analisar esse limite. Observamos que:
Como $ h $ tende a 0, o limite também tende a 0.
Passo 9
Como o limite é 0, concluímos que a função $ f $ satisfaz a condição de diferenciabilidade em
.
Resposta
Portanto, a função $ f $ é diferenciável em
.