Considere a função f: R^2 R dada por
f(x, y)=l x^4x^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)
Mostre que f é diferenciável em(0,0);

Passo 1

Então, temos um exercício onde precisamos mostrar que a função $ f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} $ definida por
f: R^2 R
é diferenciável em f(x, y)=l x^4x^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0) . Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre continuidade e derivadas parciais, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função $ f $ é contínua em f . Para isso, precisamos ver se o limite de $ f(x, y) $ quando (0,0) se aproxima de f(x, y) é igual a $ f(0,0) $, que é 0.

Passo 3

Calculando o limite:
lim(x, y) to (0,0) x^4x^2+y^2
Podemos observar que o numerador $ x^{4} $ vai para 0 mais rápido que o denominador $ x{2}+y{2} $, então o limite é 0. Assim, a função é contínua em x^4 .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ no ponto f .

Passo 5

A derivada parcial em relação a $ x $ é:
x
Então, $ f_x(0,0) = 0 $.

Passo 6

A derivada parcial em relação a $ y $ é:
y
Então, $ f_y(0,0) = 0 $.

Passo 7

Com as derivadas parciais calculadas e iguais a zero, vamos usar o teste de diferenciabilidade. A função $ f $ é diferenciável em f se:
(0,0)
Substituindo os valores:
lim(h,k) to (0,0) f(h,k) - f(0,0) - fx(0,0)h - fy(0,0)kraizh^2 + k^2 = 0

Passo 8

Vamos analisar esse limite. Observamos que:
h^4(h^2+k^2)^3/2 <= h^4h^3 = h
Como $ h $ tende a 0, o limite também tende a 0.

Passo 9

Como o limite é 0, concluímos que a função $ f $ satisfaz a condição de diferenciabilidade em f .

Resposta

Portanto, a função $ f $ é diferenciável em f .

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