Considere a função f: R^2 R dada por
f(x, y)=l x^4x^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)
Calcule as derivadas parciais de f em todos os pontos (x, y) in R^2;

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma função f(x, y) que depende de duas variáveis, x e y. A função está definida de duas maneiras: quando (x, y) não é o ponto (0,0), ela é dada por x^4x^2+y^2, e no ponto (0,0), ela vale 0. Nosso objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais dessa função em todos os pontos do plano, ou seja, calcular partial fpartial x e partial fpartial y para qualquer (x, y).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. Elas nos mostram como a função f muda quando a gente varia apenas uma das variáveis, mantendo a outra fixa. Ou seja, partial fpartial x mostra a taxa de variação de f em relação a x, mantendo y constante, e vice-versa para partial fpartial y.

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas parciais para os pontos onde (x, y) neq (0,0). Aqui, a função é x^4x^2+y^2. Para encontrar partial fpartial x, vamos usar a regra do quociente:
partial fpartial x = (4x^3)(x^2+y^2) - x^4(2x)(x^2+y^2)^2 = 4x^3(x^2+y^2) - 2x^5(x^2+y^2)^2 = 4x^5 + 4x^3y^2 - 2x^5(x^2+y^2)^2 = 2x^5 + 4x^3y^2(x^2+y^2)^2
Simplificando, temos:
partial fpartial x = 2x^3(x^2 + 2y^2)(x^2+y^2)^2
Agora, para partial fpartial y, também usamos a regra do quociente:
partial fpartial y = 0 cdot (x^2+y^2) - x^4(2y)(x^2+y^2)^2 = -2x^4y(x^2+y^2)^2
Então, temos:
partial fpartial y = -2x^4y(x^2+y^2)^2

Passo 4

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais no ponto especial (0,0). Para isso, vamos usar a definição de derivada parcial:
partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h
Sabemos que f(0,0) = 0, então:
f(h, 0) = h^4h^2 + 0^2 = h^4h^2 = h^2
Portanto:
partial fpartial x(0,0) = limh to 0 h^2h = limh to 0 h = 0
Fazendo o mesmo para partial fpartial y(0,0):
partial fpartial y(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k
Aqui, f(0, k) = 0^40^2 + k^2 = 0, então:
partial fpartial y(0,0) = limk to 0 0 - 0k = 0

Resposta

As derivadas parciais de f são dadas por:
partial fpartial x(x, y) = 2x^3(x^2 + 2y^2)(x^2+y^2)^2 & se (x, y) neq (0,0) 0 & se (x, y) = (0,0)
partial fpartial y(x, y) = -2x^4y(x^2+y^2)^2 & se (x, y) neq (0,0) 0 & se (x, y) = (0,0)

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