Considere a função
dada por
Calcule as derivadas parciais de
em todos os pontos
;
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma função
que depende de duas variáveis,
e
. A função está definida de duas maneiras: quando
não é o ponto
, ela é dada por
, e no ponto
, ela vale
. Nosso objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais dessa função em todos os pontos do plano, ou seja, calcular
e
para qualquer
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. Elas nos mostram como a função
muda quando a gente varia apenas uma das variáveis, mantendo a outra fixa. Ou seja,
mostra a taxa de variação de
em relação a
, mantendo
constante, e vice-versa para
.
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas parciais para os pontos onde
. Aqui, a função é
. Para encontrar
, vamos usar a regra do quociente:
Simplificando, temos:
Agora, para
, também usamos a regra do quociente:
Então, temos:
Passo 4
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais no ponto especial
. Para isso, vamos usar a definição de derivada parcial:
Sabemos que
, então:
Portanto:
Fazendo o mesmo para
:
Aqui,
, então:
Resposta
As derivadas parciais de
são dadas por: