Considere a função dada por
f(x)= \begin{cases}3-a x, & \text { se } x<1 \\\\ 2, & \text { se } x=1 \\\ x^{2}+b x+c, & \text { se } x>1\end{cases}
a) Encontre uma relação entre a, b e c para que f seja contínua em x=1.
b) Determine os valores de a, b e c para que f seja derivável em x=1.

Passo 1

O enunciado nos dá a função por partes
f(x)= \begin{cases}3-a x, & \text{se } x<1,\\[4pt] 2, & \text{se } x=1,\\[4pt] x^{2}+b x+c, & \text{se } x>1,\end{cases}
As perguntas são:
a) Encontrar uma relação entre a,\;b e c para que f seja contínua em x=1.
b) Determinar os valores de a,\;b e c para que f seja derivável em x=1.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão de f à esquerda de 1 é 3-a x.
  • O valor de f em x=1 é 2.
  • A expressão de f à direita de 1 é x^{2}+b x+c.]

Passo 2

Conceito útil (continuidade num ponto), explicado de forma prática:
  • Para que f seja contínua em x=1 é necessário e suficiente que o limite à esquerda em 1, o limite à direita em 1 e o valor f(1) sejam todos iguais.
  • Em símbolos: \lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^+}f(x)=f(1).
Calcule os dois limites usando as expressões dadas (funções polinomiais e lineares têm limite igual ao valor substituindo x=1).
Limite à esquerda:
\lim_{x\to1^-}(3-a x)=3-a\cdot 1=3-a.
Limite à direita:
\lim_{x\to1^+}(x^{2}+b x+c)=1^{2}+b\cdot 1+c=1+b+c.
Como f(1)=2, as igualdades necessárias são
3-a=2
e
1+b+c=2.
Resolva essas equações:
3-a=2\quad\Rightarrow\quad a=1,
1+b+c=2\quad\Rightarrow\quad b+c=1.
Portanto, para continuidade em x=1 deve valer \;a=1\; e \;b+c=1.

Passo 3

Conceito útil (derivabilidade num ponto), explicado passo a passo:
  • f é derivável em x=1 se o limite do quociente incremental existir quando h\to0:
f'(1)=\lim_{h\to0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h},
e esse limite deve ser o mesmo vindo pela esquerda ( h\to0^-) e pela direita ( h\to0^+).
  • Observação importante: se f é derivável em 1 então necessariamente f é contínua em 1. Logo as condições de continuidade encontradas no passo anterior são pré-requisito.
Vamos calcular as derivadas laterais simbólicas (sem ainda impor valores numéricos exceptuando f(1)=2).
Cálculo da derivada pela esquerda ( h\to0^-). Para h<0 pequeno, 1+h<1 e então f(1+h)=3-a(1+h). Logo
\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{3-a(1+h)-2}{h}=\frac{1-a-a h}{h}=\frac{1-a}{h}-a.
Agora observe: se 1-a\neq 0 o termo \dfrac{1-a}{h} tende a infinito quando h\to0, portanto o limite não existe. Para que a derivada lateral à esquerda exista é necessário que 1-a=0, ou seja \;a=1 — exatamente a condição de continuidade que já encontramos. Supondo então a=1 (continuidade), o quociente simplifica:
\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{-a h}{h}=-a.
Portanto, com a condição de continuidade, a derivada lateral à esquerda vale
\lim_{h\to0^-}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=-a.

Passo 4

Cálculo da derivada pela direita ( h\to0^+). Para h>0 pequeno, 1+h>1 e então
f(1+h)=(1+h)^{2}+b(1+h)+c.
Expanda e calcule o quociente:
(1+h)^{2}+b(1+h)+c=1+2h+h^{2}+b+b h+c,
\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{(1+b+c)+ (2+b)h+h^{2}-2}{h}=\frac{(1+b+c-2)+(2+b)h+h^{2}}{h}.
Mas pela condição de continuidade já temos 1+b+c=2, então o termo constante anula-se e fica
\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=(2+b)+h.
Então a derivada lateral pela direita é
\lim_{h\to0^+}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=2+b.

Passo 5

Condição de derivabilidade: as derivadas laterais devem ser iguais. Assim, com as expressões obtidas:
\text{esquerda }=-a,\qquad \text{direita }=2+b,
devemos ter
-a=2+b.
Agora use a condição de continuidade já obtida em Passo 2, onde \;a=1 e \;b+c=1.
Substitua a=1 em -a=2+b:
-1=2+b\quad\Rightarrow\quad b=-3.
E então b+c=1
-3+c=1\quad\Rightarrow\quad c=4.
Portanto, para que f seja derivável em x=1 é necessário e suficiente que
a=1,\quad b=-3,\quad c=4.

Passo 6

Recapitulando com jeito de amigo: para continuidade precisávamos que a peça da esquerda, o valor no ponto e a peça da direita coincidissem em 1; isso forçou a=1 e b+c=1. Para derivabilidade precisamos ainda que as inclinações (derivadas laterais) coincidissem, o que junto com a=1 levou a b=-3 e então c=4. Pronto — agora dá para marcar essa questão na prova com confiança. Força aí, você consegue!

Resposta

a) a=1,\\ b+c=1
b) a=1,\\ b=-3,\\ c=4

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