Seja f(x)= \begin{cases}(x-3)^{2} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x-3}\right), & \text { se } x<3 \\\\ 0, & \text { se } x=3 \\\ \left(x^{2}+x-12\right) \operatorname{cossec}(x-3), & \text { se } 3<x<(3+\pi)\end{cases}
a) f é contínua em x=3 ? Justifique sua resposta.
b) f é derivável em x=3 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado nos dá a função por partes
f(x)= \begin{cases} (x-3)^{2}\,\sin\!\left(\dfrac{1}{x-3}\right), & \text{se } x<3,\\[6pt] 0, & \text{se } x=3,\\[6pt] \bigl(x^{2}+x-12\bigr)\,\csc(x-3), & \text{se } 3<x<3+\pi. \end{cases}
As perguntas são:
a) f é contínua em x=3?
b) f é derivável em x=3?
Informações úteis dadas no enunciado que vou usar: o valor no ponto é f(3)=0; há expressões diferentes quando x se aproxima de 3 pela esquerda e pela direita. Vou precisar calcular os limites laterais \lim_{x\to3^-}f(x) e \lim_{x\to3^+}f(x), e depois a definição de derivada (limite do quociente incremental) para testar derivabilidade.]

Passo 2

Lembrete das definições (passo-a-passo didático):
  • Continuidade em x=3: f é contínua em 3 se, e somente se,
\lim_{x\to3^-} f(x)=\lim_{x\to3^+} f(x)=f(3).
Irei calcular cada limite lateral e comparar com f(3)=0.
  • Derivabilidade em x=3: f é derivável em 3 se existir o limite
\lim_{x\to3}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}
finito. Uma observação útil (teorema): se f é derivável em 3 então f é contínua em 3. Logo, se já demonstrarmos que f não é contínua em 3, já podemos concluir que f não é derivável. Ainda assim, para reforçar, vou calcular as derivadas laterais (quando existirem) para ver o comportamento.

Passo 3

Cálculo do limite pela esquerda \lim_{x\to3^-} f(x).
Faça a substituição h=x-3. Quando x\to3^- temos h\to0^-. Para x<3,
f(x)=(x-3)^{2}\sin\!\left(\frac{1}{x-3}\right)=h^{2}\sin\!\left(\frac{1}{h}\right).
Usando que \bigl|\sin(t)\bigr|\le 1 para todo t, obtemos a desigualdade para h real:
-|h|^{2}\le h^{2}\sin\!\left(\frac{1}{h}\right)\le |h|^{2}.
Como |h|^{2}\to0 quando h\to0, pelo Teorema do Confronto (Squeeze Theorem) segue que
\lim_{h\to0} h^{2}\sin\!\left(\frac{1}{h}\right)=0.
Portanto
\lim_{x\to3^-} f(x)=0.

Passo 4

Cálculo do limite pela direita \lim_{x\to3^+} f(x).
Primeiro fatoro o polinômio x^{2}+x-12. Verifico:
x^{2}+x-12=(x-3)(x+4),
pois (x-3)(x+4)=x^{2}+4x-3x-12=x^{2}+x-12. Para x>3 (mas próximo de 3) temos
f(x)=\bigl(x^{2}+x-12\bigr)\csc(x-3)=(x-3)(x+4)\csc(x-3).
Escrevo isso como
f(x)=(x+4)\,\frac{x-3}{\sin(x-3)}.
Agora uso o limite clássico (que vale porque \sin y\sim y quando y\to0):
\lim_{y\to0}\frac{\sin y}{y}=1\quad\Longrightarrow\quad \lim_{y\to0}\frac{y}{\sin y}=1.
Tomando y=x-3 e fazendo x\to3^+ (então y\to0^+), temos \dfrac{x-3}{\sin(x-3)}\to1 e x+4\to 3+4=7. Assim
\lim_{x\to3^+} f(x)=7\cdot 1 =7.

Passo 5

Comparação dos limites laterais e conclusão sobre continuidade.
Encontramos
\lim_{x\to3^-} f(x)=0,\qquad \lim_{x\to3^+} f(x)=7,\qquad f(3)=0.
Como os limites laterais não são iguais ( 0\neq7), o limite \lim_{x\to3} f(x) não existe. Portanto f não é contínua em x=3.
Resposta parcial: a) f não é contínua em x=3.

Passo 6

Comentário sobre derivabilidade: uso da implicação lógica e cálculo das derivadas laterais.
Observação teórica: se f fosse derivável em 3 então seria contínua em 3. Como já mostramos que f não é contínua em 3, segue imediatamente que f não pode ser derivável em 3. Vou, entretanto, calcular os limites dos quocientes incrementais unilaterais para ver o que acontece de cada lado (isso ajuda a entender o comportamento).
Definição de derivada lateral esquerda: \displaystyle f'_-(3)=\lim_{x\to3^-}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}. Para x<3 temos f(x)=(x-3)^{2}\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x-3}\bigr) e f(3)=0, então
\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=\frac{(x-3)^{2}\sin\!\left(\frac{1}{x-3}\right)}{x-3}=(x-3)\sin\!\left(\frac{1}{x-3}\right).
Usando novamente \bigl|\sin(\cdot)\bigr|\le1, tem-se
\bigl|(x-3)\sin\!\left(\tfrac{1}{x-3}\right)\bigr|\le |x-3|.
Como |x-3|\to0 quando x\to3, pelo confronto obtemos
f'_-(3)=\lim_{x\to3^-}(x-3)\sin\!\left(\frac{1}{x-3}\right)=0.
Logo a derivada lateral esquerda existe e vale 0.

Passo 7

Cálculo da derivada lateral direita e conclusão sobre derivabilidade.
Definição de derivada lateral direita: \displaystyle f'_+(3)=\lim_{x\to3^+}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}. Para x>3,
\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=\frac{(x^{2}+x-12)\csc(x-3)}{x-3}=(x+4)\csc(x-3),
usando a fatoração feita antes. Agora avalio o limite quando x\to3^+ (ou seja y=x-3\to0^+):
(x+4)\csc(x-3)=(x+4)\frac{1}{\sin(x-3)}\sim 7\cdot\frac{1}{x-3}.
Como \dfrac{1}{x-3}\to +\infty quando x\to3^+, o produto diverge para +\infty. Portanto
f'_+(3)=\lim_{x\to3^+}(x+4)\csc(x-3)=+\infty,
ou seja, o limite lateral direito não é um número finito (não existe como número real).
Como as derivadas laterais não coincidem (a esquerda é 0 e a direita não é finita), o limite do quociente incremental \lim_{x\to3}\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3} não existe como número finito. Logo f não é derivável em x=3.

Passo 8

Resumo final e palavra de incentivo: concluímos que f não é contínua em 3 porque os limites laterais são diferentes; por consequência (e também verificando explicitamente) f não é derivável em 3. Boa! Isso mostra os dois mecanismos que podem atrapalhar derivabilidade: descontinuidade e comportamento explosivo de um dos quocientes incrementais.

Resposta

a) Não.
b) Não.

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