As perguntas são:
a) f é contínua em x=3?
b) f é derivável em x=3?
Informações úteis dadas no enunciado que vou usar: o valor no ponto é f(3)=0; há expressões diferentes quando x se aproxima de 3 pela esquerda e pela direita. Vou precisar calcular os limites laterais \lim_{x\to3^-}f(x) e \lim_{x\to3^+}f(x), e depois a definição de derivada (limite do quociente incremental) para testar derivabilidade.]
Passo 2
Lembrete das definições (passo-a-passo didático):
Continuidade em x=3: f é contínua em 3 se, e somente se,
\lim_{x\to3^-} f(x)=\lim_{x\to3^+} f(x)=f(3).
Irei calcular cada limite lateral e comparar com f(3)=0.
Derivabilidade em x=3: f é derivável em 3 se existir o limite
\lim_{x\to3}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}
finito. Uma observação útil (teorema): se f é derivável em 3 então f é contínua em 3. Logo, se já demonstrarmos que f não é contínua em 3, já podemos concluir que f não é derivável. Ainda assim, para reforçar, vou calcular as derivadas laterais (quando existirem) para ver o comportamento.
Passo 3
Cálculo do limite pela esquerda \lim_{x\to3^-} f(x).
Faça a substituição h=x-3. Quando x\to3^- temos h\to0^-. Para x<3,
Como os limites laterais não são iguais (0\neq7), o limite \lim_{x\to3} f(x) não existe. Portanto f não é contínua em x=3.
Resposta parcial: a) f não é contínua em x=3.
Passo 6
Comentário sobre derivabilidade: uso da implicação lógica e cálculo das derivadas laterais.
Observação teórica: se f fosse derivável em 3 então seria contínua em 3. Como já mostramos que f não é contínua em 3, segue imediatamente que f não pode ser derivável em 3. Vou, entretanto, calcular os limites dos quocientes incrementais unilaterais para ver o que acontece de cada lado (isso ajuda a entender o comportamento).
Definição de derivada lateral esquerda: \displaystyle f'_-(3)=\lim_{x\to3^-}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}. Para x<3 temos f(x)=(x-3)^{2}\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x-3}\bigr) e f(3)=0, então
Como \dfrac{1}{x-3}\to +\infty quando x\to3^+, o produto diverge para +\infty. Portanto
f'_+(3)=\lim_{x\to3^+}(x+4)\csc(x-3)=+\infty,
ou seja, o limite lateral direito não é um número finito (não existe como número real).
Como as derivadas laterais não coincidem (a esquerda é 0 e a direita não é finita), o limite do quociente incremental \lim_{x\to3}\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3} não existe como número finito. Logo f não é derivável em x=3.
Passo 8
Resumo final e palavra de incentivo: concluímos que f não é contínua em 3 porque os limites laterais são diferentes; por consequência (e também verificando explicitamente) f não é derivável em 3. Boa! Isso mostra os dois mecanismos que podem atrapalhar derivabilidade: descontinuidade e comportamento explosivo de um dos quocientes incrementais.