Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Prove que C(H)=x in G ; h x= x h, forall h in H é um subgrupo de G C(H) é chamado centralizador de H.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um grupo G e um subgrupo Hsubseteq G, o conjunto C(H)=xin G:,hx=xh, forall hin H é um subgrupo de G. O conteúdo aqui é teoria de grupos, mais especificamente o teste de subgrupo: precisamos provar que a identidade está em C(H), que C(H) é fechado em produto e que todo elemento em C(H) tem inverso em C(H).

Passo 2

Primeiro, vamos ver a identidade. Seja e o elemento neutro de G. Para todo hin H, temos
e,h = h = h,e
Logo e comuta com qualquer h e, portanto, ein C(H).

Passo 3

Agora a fechadura em produto. Tomemos x,yin C(H). Queremos mostrar que xy comuta com todo hin H. De fato, para cada h,
h,(xy) = (h x),y = (x h),y = x,(h y) = x,(y h) = (x y),h
Usamos em sequência que x e y comutam com h. Assim xyin C(H).

Passo 4

Por fim, o inverso. Seja xin C(H), ou seja, x h = h x para todo hin H. Queremos ver que x^-1 também comuta com h. Começamos de
x h = h x
e multiplicamos à direita por x^-1 e depois à esquerda por x^-1:
x h x^-1 = h x x^-1 = h
x^-1(x h x^-1) = x^-1h implies (x^-1x)h x^-1 = x^-1h implies h x^-1 = x^-1h
Portanto, x^-1in C(H).

Passo 5

Como há identidade, fechadura em produto e fechadura em inversos, concluímos que C(H) é de fato um subgrupo de G.

Resposta

C(H) é um subgrupo de G.

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