Sejam
um grupo e
um subgrupo de
. Prove que
é um subgrupo de
é chamado centralizador de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um grupo
e um subgrupo
, o conjunto
é um subgrupo de
. O conteúdo aqui é teoria de grupos, mais especificamente o teste de subgrupo: precisamos provar que a identidade está em
, que
é fechado em produto e que todo elemento em
tem inverso em
.
Passo 2
Primeiro, vamos ver a identidade. Seja
o elemento neutro de
. Para todo
, temos
Logo
comuta com qualquer
e, portanto,
.
Passo 3
Agora a fechadura em produto. Tomemos
. Queremos mostrar que
comuta com todo
. De fato, para cada
,
Usamos em sequência que
e
comutam com
. Assim
.
Passo 4
Por fim, o inverso. Seja
, ou seja,
para todo
. Queremos ver que
também comuta com
. Começamos de
e multiplicamos à direita por
e depois à esquerda por
:
Portanto,
.
Passo 5
Como há identidade, fechadura em produto e fechadura em inversos, concluímos que
é de fato um subgrupo de
.