Considere a função f: R R dada pelo determinante
r f(x)=det(42 x+1 5 x-2) (76 x+2 7 x)
que calcula a área do paralelogramo de vértices
(0,0) A=(42 x+1,76 x+2) B=(5 x-2,7 x)
A+B=(47 x-1,83 x+2)
Qual o valor da taxa de variação desta área para x=2 Em outras palavras, qual o valor de
f^prime(2) ?

Passo 1

Então, galera, a gente tem um exercício que envolve cálculo de derivada aplicada a uma função que representa a área de um paralelogramo. A função $ f(x) $ é definida pelo determinante de uma matriz que depende de $ x $. Nosso objetivo é encontrar a taxa de variação dessa área quando $ x = 2 $, ou seja, calcular $ f’(2) $. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular determinantes de matrizes e como derivar funções que envolvem determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como calcular o determinante de uma matriz 2x2. Se a gente tem uma matriz assim:
a & b c & d
O determinante é calculado por $ ad - bc $. Essa fórmula nos dá a área do paralelogramo formado por vetores definidos pelas colunas da matriz.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função $ f(x) $. A matriz dada é:
f(x)
Vamos identificar os elementos da matriz:
  • $ a = 42x + 1 $
  • $ b = 5x - 2 $
  • $ c = 76x + 2 $
  • $ d = 7x $

Passo 4

Usando a fórmula do determinante, temos:
f(x) = (42x + 1)(7x) - (5x - 2)(76x + 2)
Vamos expandir as multiplicações:
f(x) = (42x)(7x) + (1)(7x) - [ (5x)(76x) + (5x)(2) - (2)(76x) - (2)(2) ]

Passo 5

Simplificando cada termo:
f(x) = 294x^2 + 7x - [380x^2 + 10x - 152x - 4]
f(x) = 294x^2 + 7x - 380x^2 - 10x + 152x + 4

Passo 6

Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
f(x) = (294x^2 - 380x^2) + (7x - 10x + 152x) + 4
f(x) = -86x^2 + 149x + 4

Passo 7

Para encontrar a taxa de variação, ou seja, a derivada de $ f(x) $, vamos derivar cada termo em relação a $ x $:
f(x)
x
f'(x) = ddx(-86x^2) + ddx(149x) + ddx(4)

Passo 8

Agora, substituímos $ x = 2 $ na expressão da derivada:
x = 2
f'(2) = -172(2) + 149
f'(2) = -344 + 149

Resposta

A taxa de variação da área para $ x = 2 $ é $ f’(2) = -195 $.

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