Considere a função
dada pelo determinante
que calcula a área do paralelogramo de vértices
Qual o valor da taxa de variação desta área para
Em outras palavras, qual o valor de
?
Qual o valor da taxa de variação desta área para
Passo 1
Então, galera, a gente tem um exercício que envolve cálculo de derivada aplicada a uma função que representa a área de um paralelogramo. A função $ f(x) $ é definida pelo determinante de uma matriz que depende de $ x $. Nosso objetivo é encontrar a taxa de variação dessa área quando $ x = 2 $, ou seja, calcular $ f’(2) $. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular determinantes de matrizes e como derivar funções que envolvem determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como calcular o determinante de uma matriz 2x2. Se a gente tem uma matriz assim:
O determinante é calculado por $ ad - bc $. Essa fórmula nos dá a área do paralelogramo formado por vetores definidos pelas colunas da matriz.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função $ f(x) $. A matriz dada é:
Vamos identificar os elementos da matriz:
- $ a = 42x + 1 $
- $ b = 5x - 2 $
- $ c = 76x + 2 $
- $ d = 7x $
Passo 4
Usando a fórmula do determinante, temos:
Vamos expandir as multiplicações:
Passo 5
Simplificando cada termo:
Passo 6
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
Passo 7
Para encontrar a taxa de variação, ou seja, a derivada de $ f(x) $, vamos derivar cada termo em relação a $ x $:
Passo 8
Agora, substituímos $ x = 2 $ na expressão da derivada:
Resposta
A taxa de variação da área para $ x = 2 $ é $ f’(2) = -195 $.