Resolva o PVI:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Você tem uma equação diferencial com um valor inicial:
Esse tipo de problema pertence à matéria de Equações Diferenciais, e para resolver vamos precisar separar as variáveis e integrar ambas as partes. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis $ y $ e $ x $. Começamos dividindo ambos os lados por $ x \cdot y \cdot (1 + x^{2}) $:
Agora, reescrevemos isso de forma que todos os termos com $ y $ fiquem de um lado e os termos com $ x $ do outro:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados.
Primeiro, o lado esquerdo com $ y $:
Para integrar isso, fazemos uma substituição simples. Seja $ u = 1 + y^{2} $, então $ du = 2y , dy $, o que simplifica a integral:
Agora, o lado direito com $ x $:
Aqui, usamos frações parciais para simplificar a integral. Decompomos em:
Integrando cada termo:
Passo 4
Igualamos os resultados das integrais:
Multiplicamos tudo por 2 para simplificar:
Podemos combinar os logaritmos:
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde $ K = e^{C’} $ é uma constante.
Passo 5
Agora, resolvemos para $ y $:
Tirando a raiz quadrada:
Mas lembrando da condição inicial $ y(1) = -1 $, escolhemos o sinal negativo:
Resposta
A solução do problema é: