Resolva o PVI: y=y(x)
x y(1+x^2) y^prime=1+y^2 ; y(1)=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Você tem uma equação diferencial com um valor inicial:
x cdot y cdot (1 + x^2) cdot dydx = 1 + y^2, y(1) = -1
Esse tipo de problema pertence à matéria de Equações Diferenciais, e para resolver vamos precisar separar as variáveis e integrar ambas as partes. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis $ y $ e $ x $. Começamos dividindo ambos os lados por $ x \cdot y \cdot (1 + x^{2}) $:
y
Agora, reescrevemos isso de forma que todos os termos com $ y $ fiquem de um lado e os termos com $ x $ do outro:
x

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados.
Primeiro, o lado esquerdo com $ y $:
y
Para integrar isso, fazemos uma substituição simples. Seja $ u = 1 + y^{2} $, então $ du = 2y , dy $, o que simplifica a integral:
integral y1 + y^2 , dy
Agora, o lado direito com $ x $:
u = 1 + y^2
Aqui, usamos frações parciais para simplificar a integral. Decompomos em:
du = 2y , dy
Integrando cada termo:
12 ln|1 + y^2| + C

Passo 4

Igualamos os resultados das integrais:
12 ln|1 + y^2| = ln|x| - 12 ln|1 + x^2| + C
Multiplicamos tudo por 2 para simplificar:
ln|1 + y^2| = 2 ln|x| - ln|1 + x^2| + C'
Podemos combinar os logaritmos:
ln|1 + y^2| = ln(x^21 + x^2) + C'
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
1 + y^2 = K cdot x^21 + x^2
Onde $ K = e^{C’} $ é uma constante.

Passo 5

Agora, resolvemos para $ y $:
y
Tirando a raiz quadrada:
y^2 = 4x^21 + x^2 - 1 = 3x^2 - 11 + x^2
Mas lembrando da condição inicial $ y(1) = -1 $, escolhemos o sinal negativo:
y = pm raiz3x^2 - 11 + x^2

Resposta

A solução do problema é:
y(x) = -raiz3x^2 - 11 + x^2

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