Considere a função
dada por
. Determine
, sendo
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão pede: temos a função f: ℝ→ℝ dada por f(x)=x²−2x e o conjunto A=[1/2,3). Precisamos encontrar o conjunto f(A)={f(x): x∈A}. Aqui vamos usar a ideia de imagem de intervalo por função contínua e achar extremos.
Passo 2
Para achar extremos de f em A, calculamos a derivada: f
'(x)=2x−2. Zerando a derivada, 2x−2=0 ⇒ x=1. Esse ponto está dentro de A, então é candidato a extremo.
'(x)=2x−2. Zerando a derivada, 2x−2=0 ⇒ x=1. Esse ponto está dentro de A, então é candidato a extremo.
Passo 3
Agora avaliamos f nos pontos relevantes: em x=1/2, f(1/2)=(1/2)²−2·(1/2)=1/4−1=−3/4; em x=1, f(1)=1−2=−1; e no limite x→3−, f(x)→3²−2·3=9−6=3.
Passo 4
Como f
'(x)<0 para x<1, f decresce em [1/2,1], caindo de f(1/2)=−3/4 até f(1)=−1. E f
'(x)>0 para x>1, então f cresce em [1,3), subindo de −1 até se aproximar de 3 sem atingir.
'(x)<0 para x<1, f decresce em [1/2,1], caindo de f(1/2)=−3/4 até f(1)=−1. E f
'(x)>0 para x>1, então f cresce em [1,3), subindo de −1 até se aproximar de 3 sem atingir.
Passo 5
Portanto, o mínimo de f em A é f(1)=−1 (atingido) e o supremo é 3 (não atingido). Logo f(A) é o intervalo fechado em −1 e aberto em 3.