Considere a função f: R R dada por f(x)=x^2-2 x. Determine
f(A), sendo A=[1 / 2,3).

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede: temos a função f: ℝ→ℝ dada por f(x)=x²−2x e o conjunto A=[1/2,3). Precisamos encontrar o conjunto f(A)={f(x): x∈A}. Aqui vamos usar a ideia de imagem de intervalo por função contínua e achar extremos.

Passo 2

Para achar extremos de f em A, calculamos a derivada: f
'(x)=2x−2. Zerando a derivada, 2x−2=0 ⇒ x=1. Esse ponto está dentro de A, então é candidato a extremo.

Passo 3

Agora avaliamos f nos pontos relevantes: em x=1/2, f(1/2)=(1/2)²−2·(1/2)=1/4−1=−3/4; em x=1, f(1)=1−2=−1; e no limite x→3−, f(x)→3²−2·3=9−6=3.

Passo 4

Como f
'(x)<0 para x<1, f decresce em [1/2,1], caindo de f(1/2)=−3/4 até f(1)=−1. E f
'(x)>0 para x>1, então f cresce em [1,3), subindo de −1 até se aproximar de 3 sem atingir.

Passo 5

Portanto, o mínimo de f em A é f(1)=−1 (atingido) e o supremo é 3 (não atingido). Logo f(A) é o intervalo fechado em −1 e aberto em 3.

Resposta

[-1,3)

Exercícios relacionados