Considere a função
dada por
. Determine
, sendo
.
Passo 1
O enunciado pede a pré-imagem de B=(3,8] pela função f(x)=x^2−2x, ou seja, achar todos x em ℝ tais que f(x)∈(3,8]. O conteúdo envolvido é pré-imagem de conjuntos e resolução de desigualdades quadráticas.
Passo 2
Devemos resolver a condição f(x)∈(3,8], isto é, 3< x^2−2x ≤8.
Passo 3
Primeiro, a desigualdade 3< x^2−2x equivale a x^2−2x−3>0. Fatorando temos (x−3)(x+1)>0, cuja solução é x<−1 ou x>3.
Passo 4
Segundo, a desigualdade x^2−2x ≤8 equivale a x^2−2x−8≤0. Fatorando temos (x−4)(x+2)≤0, cuja solução é −2≤x≤4.
Passo 5
A interseção dos dois resultados (x<−1 ou x>3) com (−2≤x≤4) dá f^{-1}(B) = [−2,−1) ∪ (3,4].
Resposta
f^{-1}(B)=,[-2,-1)\cup(3,4]