Considere a função f: R R dada por f(x)=x^2-2 x. Determine
f^-1(B), sendo B=(3,8].

Passo 1

O enunciado pede a pré-imagem de B=(3,8] pela função f(x)=x^2−2x, ou seja, achar todos x em ℝ tais que f(x)∈(3,8]. O conteúdo envolvido é pré-imagem de conjuntos e resolução de desigualdades quadráticas.

Passo 2

Devemos resolver a condição f(x)∈(3,8], isto é, 3< x^2−2x ≤8.

Passo 3

Primeiro, a desigualdade 3< x^2−2x equivale a x^2−2x−3>0. Fatorando temos (x−3)(x+1)>0, cuja solução é x<−1 ou x>3.

Passo 4

Segundo, a desigualdade x^2−2x ≤8 equivale a x^2−2x−8≤0. Fatorando temos (x−4)(x+2)≤0, cuja solução é −2≤x≤4.

Passo 5

A interseção dos dois resultados (x<−1 ou x>3) com (−2≤x≤4) dá f^{-1}(B) = [−2,−1) ∪ (3,4].

Resposta

f^{-1}(B)=,[-2,-1)\cup(3,4]

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