Seja
satisfazendo
. Prove que
Se
não é identicamente nula, então
para todo
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se uma função
satisfaz
e não é identicamente zero, então necessariamente
para todo
. O conteúdo principal aqui é equações funcionais do tipo multiplicativo e vamos usar propriedades básicas como o valor em zero e fatoração de argumentos.
Passo 2
Primeiro, computamos
. Usando a identidade com
:
Isso dá
ou
. Se fosse
, então para todo
:
isto é,
seria identicamente zero, contra a hipótese. Logo
.
Passo 3
Agora, para qualquer
, escrevemos
. Daí:
Portanto,
nunca é negativo.
Passo 4
Finalmente, se existisse algum
tal que
, então para todo
:
implicando que
seria identicamente zero, de novo contradizendo a hipótese. Logo não há zeros, e como já vimos
, concluímos
para todo
.