Seja f: R R satisfazendo f(x+y)=f(x) f(y) forall x, y in R. Prove que
Se f não é identicamente nula, então f(x)>0 para todo x in R.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se uma função f:RtoR satisfaz f(x+y)=f(x)cdot f(y) e não é identicamente zero, então necessariamente f(x)>0 para todo x. O conteúdo principal aqui é equações funcionais do tipo multiplicativo e vamos usar propriedades básicas como o valor em zero e fatoração de argumentos.

Passo 2

Primeiro, computamos f(0). Usando a identidade com x=y=0:
f(0+0)=f(0)cdot f(0)implies f(0)=f(0)^2
Isso dá f(0)=0 ou f(0)=1. Se fosse f(0)=0, então para todo x:
f(x)=f(x+0)=f(x)cdot f(0)=f(x)cdot0=0,
isto é, f seria identicamente zero, contra a hipótese. Logo f(0)=1.

Passo 3

Agora, para qualquer x, escrevemos x=x/2+x/2. Daí:
f(x)=fl(x/2+x/2r)=f(x/2)cdot f(x/2)=l(f(x/2)r)^2>=0
Portanto, f(x) nunca é negativo.

Passo 4

Finalmente, se existisse algum a tal que f(a)=0, então para todo x:
f(x)=f(a+(x-a))=f(a)cdot f(x-a)=0,
implicando que f seria identicamente zero, de novo contradizendo a hipótese. Logo não há zeros, e como já vimos f(x)>=0, concluímos f(x)>0 para todo x.

Resposta

f(x)>0 para todo xinR, desde que f não seja identicamente nula.

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