Seja
satisfazendo
. Prove que
Se existir
tal que
, então
.
Se existir
Passo 1
Temos uma função
satisfazendo a equação funcional
para todo
. O objetivo é mostrar que, se existe
tal que
, então necessariamente
para todo
. Vamos usar justamente a propriedade aditiva do domínio para “propagar” esse zero.
Passo 2
Seja
arbitrário. Observe que podemos escrever
, e assim aplicar a propriedade funcional:
Como estamos assumindo
, segue que
. Portanto, para qualquer
, temos
, ou seja,
é identicamente zero.
Resposta
f(x)=0 para todo x \in \mathbb{R}.