Seja f: R R satisfazendo f(x+y)=f(x) f(y) forall x, y in R. Prove que
Se existir x0 in R tal que f(x0)=0, então f(x)=0 forall x in R.

Passo 1

Temos uma função f:RtoR satisfazendo a equação funcional f(x+y)=f(x)cdot f(y) para todo x,yinR. O objetivo é mostrar que, se existe x0 tal que f(x0)=0, então necessariamente f(x)=0 para todo x. Vamos usar justamente a propriedade aditiva do domínio para “propagar” esse zero.

Passo 2

Seja xinR arbitrário. Observe que podemos escrever x=(x - x0)+x0, e assim aplicar a propriedade funcional:
f(x)=fl((x - x0)+x0r)=f(x - x0)cdot f(x0)
Como estamos assumindo f(x0)=0, segue que f(x)=f(x - x0)cdot 0=0. Portanto, para qualquer x, temos f(x)=0, ou seja, f é identicamente zero.

Resposta

f(x)=0 para todo x \in \mathbb{R}.

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