Encontre, caso seja possível, duas sequências (an) e (bn) tais que lim an=+infty, lim bn=0 e lim an bn=3

Passo 1

O enunciado pede duas sequências (an) e (bn) tais que limntoinftyan=+infty, limntoinftybn=0 e limntoinftyan bn=3. Vamos usar propriedades de limites de sequências e operações algébricas com limites.

Passo 2

Sabemos que se limntoinftyan=+infty, então para qualquer constante c vale limntoinftycan=0. Além disso, se definirmos bn=tfraccan, teremos an bn=c para todo n, garantindo limntoinftyan bn=c.

Passo 3

Para obtermos lim an bn=3, escolhemos c=3. Tomando por exemplo an=n, definimos
bn=3an=3n

Passo 4

Agora verificamos os limites:
  • limntoinftyan=limntoinftyn=+infty.
  • limntoinftybn=limntoinfty3n=0.
  • limntoinftyan bn=limntoinftyncdot3n=limntoinfty3=3.

Resposta

Uma escolha simples é an=n e bn=3/n, pois então anto+infty, bnto0 e an bnto3.

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