Considere a função dada pela expressão
f(x)=cll de<a & & 0 <= x <= 12 4(1+de<a)(x-x^2)-1 & , & 12 <= x <= 1
sendo de<a um parâmetro real.
(a) Utilizando o método da falsa posição, mostre que o primeiro termo da sequência gerada com a=0 e b=1 é dado por
z0=1-11+de<a
(b) Mostre que o termo zn é dado por
zn=1-1(1+de<a)^n+1
caso n seja tal que zn-1 <= 12.
(c) Para de<a=10^-6, quantas iterações são necessárias para que zn >= 12 ? No caso de bissecção, quantas iterações são necessárias para atingir um erro absoluto de 2^-48 ?
6. Calcule 5 iterações por falsa posição para a função do exercício anterior com de<a=0.1.

Passo 1

O enunciado trata de encontrar a raiz de f(x) em [0,1] pelo método da falsa posição (regula falsi). Note que
f(0)=de<a>0, f(1)=4(1+de<a)(1-1)-1=-1<0,
logo há mudança de sinal em [0,1]. Vamos usar a fórmula
z = b - f(b),b-af(b)-f(a)
iterativamente, sempre mantendo f(a)>0 e f(b)<0.

Passo 2

Para (a), aplicamos a fórmula com a=0, b=1, f(a)=de<a, f(b)=-1:
z0 =1 - (-1),1-0-1-de<a =1 - -1-1-de<a =1 - 11+de<a

Passo 3

Para (b), suponha que até a iteração n-1 ficou zn-1<=12. Então f(zn-1)=de<a>0 e o ponto negativo continua em b=1. Assim
zn =1 -(-1),1 - zn-1-1 - de<a =1 - 1-zn-11+de<a
Se por hipótese zn-1=1-1(1+de<a)^n, então
1 - zn-1 =1(1+de<a)^n,
logo
zn =1 - 1(1+de<a)^n+1
Isso fecha a indução.

Passo 4

Para (c), com de<a=10^-6 queremos
zn>=12 ;Longrightarrow; 1 - 1(1+de<a)^n+1>=12 ;Longrightarrow; 1(1+de<a)^n+1<=12
Tomando logaritmo,
(n+1)ln(1+de<a)>=ln2 ;Longrightarrow; n+1>=ln2ln(1+10^-6) approx0,693110^-6 approx6,93times10^5
Portanto são necessárias cerca de 6,93times10^5 iterações.
Para a bisseção, basta resolver
12^n<=2^-48 ;Longrightarrow; n>=48

Passo 5

Para (d), com de<a=0.1 e a fórmula zn=1-1/(1.1)^n+1, temos
z0&=1-11.1=0,0909091, z1&=1-11.1^2=0,1735537, z2&=1-11.1^3=0,2486852, z3&=1-11.1^4=0,3169870, z4&=1-11.1^5=0,3790791

Resposta

(a) z0=1-11+de<a
(b) zn=1-1(1+de<a)^,n+1 sempre que zn-1<=12.
(c) Para de<a=10^-6, cerca de 6,93times10^5 iterações no método da falsa posição; na bisseção, 48 iterações.
(d) Com de<a=0.1, as cinco primeiras iterações são
z0approx0,0909091,; z1approx0,1735537,; z2approx0,2486852,; z3approx0,3169870,; z4approx0,3790791

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