Considere a função
.
(a) Mostre que
possui uma única raiz em
.
Sugestão: siga os seguintes passos
- Mostre que a equação
é equivalente a uma equação polinomial do tipo
- Mostre que
é uma função decrescente em
e que
.
- Conclua que
para todo
.
(b) Aplique 5 passos do método da bissecção para
.
(c) Seja
a raiz de
em
e sejam
os valores gerados pelo método da bissecção para a equação
. Encontre
, sem calcular
, de modo que
para
.
(a) Mostre que
(b) Aplique 5 passos do método da bissecção para
(c) Seja
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
tem exatamente uma raiz em
, depois aplicar
iterações do método da bissecção nesse intervalo e, por fim, determinar quantas iterações são necessárias para que a aproximação atinja erro menor que
.
Para isso vamos usar:
. Análise de
e o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para existência e unicidade da raiz.
. Método da bissecção para aproximar numericamente a raiz.
. Fórmula de erro do método da bissecção para estimar o número de iterações necessárias.
Para isso vamos usar:
Passo 2
Calculamos
A condição
equivale a
Derivando
:
Em
temos
e
, portanto
, o que indica que
é decrescente. Além disso,
Como
é decrescente, segue
em todo
, ou seja,
é estritamente crescente. Avaliando
vemos que
em todo o intervalo, logo não há solução de
. Como, por exemplo,
concluímos que
em
, ou seja,
é estritamente decrescente. Finalmente,
Pelo TVI existe exatamente uma raiz em
.
Passo 3
Aplicamos
iterações do método da bissecção em
sabendo
e
:
Passo 4
O erro após
iterações do método da bissecção satisfaz
Queremos
portanto o menor inteiro que atende é
.
Resposta
(a) Existe e é única a raiz em
.
(b)
(c) São necessárias iterações para garantir
para
.
(b)
(c) São necessárias