Considere a função f(x)=arctg(x)+32 arctg(x^2).
(a) Mostre que f(x) possui uma única raiz em [-1,-0.5].
Sugestão: siga os seguintes passos
  • Mostre que a equação f^prime(x)=0 é equivalente a uma equação polinomial do tipo
p(x)=a x^4+b x^3+c x^2+d x+e=0
  • Mostre que p^prime(x) é uma função decrescente em [-1,-0.5] e que p^prime(-0.5)>0.
  • Conclua que p^prime(x)>0 para todo x in[-1,-0.5].
    (b) Aplique 5 passos do método da bissecção para f(x)=0.
    (c) Seja alpha a raiz de f(x)=0 em [-1,-0.5] e sejam x1, x2, ldots, xk, ldots os valores gerados pelo método da bissecção para a equação f(x)=0. Encontre n, sem calcular x1, x2, ldots, xk, ldots, de modo que |xk-alpha|<10^-13 para k >= n.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x)=arctg(x)+32,arctg(x^2)
tem exatamente uma raiz em [-1,-0.5], depois aplicar 5 iterações do método da bissecção nesse intervalo e, por fim, determinar quantas iterações são necessárias para que a aproximação atinja erro menor que 10^-13.
Para isso vamos usar:
1. Análise de f'(x) e o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para existência e unicidade da raiz.
2. Método da bissecção para aproximar numericamente a raiz.
3. Fórmula de erro do método da bissecção para estimar o número de iterações necessárias.

Passo 2

Calculamos
f'(x) =ddxl[arctg(x)r] +32,ddxl[arctg(x^2)r] =11+x^2+32,2x1+x^4 =11+x^2+3x1+x^4
A condição f'(x)=0 equivale a
11+x^2+3x1+x^4=0 ;Long<=ftrightarrow; (1+x^4)+3x(1+x^2)=0 ;Long<=ftrightarrow; p(x)=x^4+3x^3+3x+1=0
Derivando p:
p'(x)=4x^3+9x^2+3, p''(x)=12x^2+18x=6x(2x+3)
Em [-1,-0.5] temos 2x+3>0 e x<0, portanto p''(x)<0, o que indica que p'(x) é decrescente. Além disso,
p'(-0.5)=4(-0.5)^3+9(-0.5)^2+3=-0.5+2.25+3=4.75>0
Como p' é decrescente, segue p'(x)>0 em todo [-1,-0.5], ou seja, p é estritamente crescente. Avaliando
p(-1)=1-3-3+1=-4<0, p(-0.5)=tfrac116-tfrac38-tfrac32+1=-0.8125<0,
vemos que p(x)<0 em todo o intervalo, logo não há solução de f'(x)=0. Como, por exemplo,
f'(-1)=tfrac12-tfrac32=-1<0,
concluímos que f'(x)<0 em [-1,-0.5], ou seja, f é estritamente decrescente. Finalmente,
f(-1)=arctg(-1)+tfrac32,arctg(1) =-tfracpi4+tfrac3pi8=tfracpi8>0,
f(-0.5)=arctg(-0.5)+tfrac32,arctg(0.25) approx -0.46365+0.36747<0
Pelo TVI existe exatamente uma raiz em [-1,-0.5].

Passo 3

Aplicamos 5 iterações do método da bissecção em [a0,b0]=[-1,-0.5] sabendo f(a0)>0 e f(b0)<0:
1) x1=(a0+b0)/2=-0.75, f(x1)approx0.1241>0 ;Rightarrow[ a1,b1] = [-0.75,-0.5].
2) x2=-0.625, f(x2)approx-0.0007<0 ;Rightarrow[ a2,b2] = [-0.75,-0.625].
3) x3=-0.6875, f(x3)approx0.0666>0 ;Rightarrow[ a3,b3] = [-0.6875,-0.625].
4) x4=-0.65625, f(x4)approx0.0265>0 ;Rightarrow[ a4,b4] = [-0.65625,-0.625].
5) x5=-0.640625, f(x5)approx0.0115>0 ;Rightarrow[ a5,b5] = [-0.640625,-0.625].

Passo 4

O erro após k iterações do método da bissecção satisfaz
|xk-alpha|<=b0-a02^k=0.52^k
Queremos
0.52^n<10^-13 Longrightarrow 2^n>5times10^12 Longrightarrow n>log2(5times10^12)approx42.18,
portanto o menor inteiro que atende é n=43.

Resposta

(a) Existe e é única a raiz em [-1,-0.5].
(b) x1=-0.75,;x2=-0.625,;x3=-0.6875,;x4=-0.65625,;x5=-0.640625
(c) São necessárias n=43 iterações para garantir |xk-alpha|<10^-13 para k>= n.

Exercícios relacionados