Considere a função dada por f(x)=arccos (e^x).
(a) Determine o domínio e o contradomínio de f.

Passo 1

Vamos estudar a função f(x)=arccosl(e^xr), cujo objetivo é achar onde ela está definida (domínio) e quais valores ela de fato assume (contradomínio ou imagem).

Passo 2

Para que arccos(u) esteja definido, precisamos ter uin[-1,1]. Aqui u=e^x>0 para todo x, então a condição reduz-se a
e^x<= 1
Como a exponencial é monótona crescente, e^x<=1iff x<=0. Portanto o domínio é
xin R:,x<=0=(-infty,0]

Passo 3

Agora analisamos a imagem: sobre x<=0, temos
e^xin(0,1],
isto é, atinge 1 em x=0 e se aproxima de 0 quando xto-infty (mas nunca chega a zero). Aplicando arccos:
  • em e^x=1 fica arccos(1)=0, valor que ocorre de fato;
  • quando e^xto0^+, arccos(e^x)toarccos(0)=tfracpi2, mas esse valor não é atingido para nenhum x finito.
    Logo a imagem de f é
[0,tfracpi2)

Resposta

Domínio = (-∞,0], Contradomínio (imagem) = [0, π/2).

Exercícios relacionados