Determine o domínio e o contradomínio da função definida por
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o domínio e o contradomínio da função
. O conteúdo é funções e arco-cosseno, e vamos precisar que o argumento de
esteja em
e que o denominador
.
Passo 2
Para o domínio, impõem-se duas condições: (i)
, ou seja
, e (ii) o argumento
deve satisfazer
.
Passo 3
Resolver
. Fazendo
obtemos
Como
é negativo, essa desigualdade exige
, isto é
.
Passo 4
Resolver
. Fazendo
obtemos
Estudando o sinal, concluímos que essa desigualdade vale para
.
Passo 5
Interseção das duas condições com
: a primeira exigiu
, então a interseção com
é apenas
. Logo o domínio de
é
.
Passo 6
Para o contradomínio (imagem), observe que em
o argumento vale
e que, quando
, o argumento tende a
. Como
é decrescente em
, a função
varia de
(quando o argumento é
) até
(quando o argumento é
), alcançando
mas nunca atingindo
. Portanto a imagem (contradomínio) de
é
.
Resposta
Domínio:
; Contradomínio:
.