Determine o domínio e o contradomínio da função definida por f(x)=arccos (xx+1).

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio e o contradomínio da função f(x)=arccosl(tfracxx+1r). O conteúdo é funções e arco-cosseno, e vamos precisar que o argumento de arccos esteja em [-1,1] e que o denominador x+1ne 0.

Passo 2

Para o domínio, impõem-se duas condições: (i) x+1ne 0, ou seja xne -1, e (ii) o argumento tfracxx+1 deve satisfazer -1<= tfracxx+1<= 1.

Passo 3

Resolver tfracxx+1<= 1. Fazendo tfracxx+1-1<=0 obtemos -1x+1<=0 Como -1) é negativo, essa desigualdade exige x+1>0, isto é x>-1.

Passo 4

Resolver tfracxx+1>= -1. Fazendo tfracxx+1+1>=0 obtemos 2x+1x+1>=0 Estudando o sinal, concluímos que essa desigualdade vale para xin(-infty,-1)cup[-tfrac12,infty).

Passo 5

Interseção das duas condições com xne -1: a primeira exigiu x>-1, então a interseção com ( -infty,-1)cup[-tfrac12,infty) é apenas [ -tfrac12,infty). Logo o domínio de f é [ -tfrac12,infty).

Passo 6

Para o contradomínio (imagem), observe que em x=-tfrac12 o argumento vale -1 e que, quando xtoinfty, o argumento tende a 1. Como arccos é decrescente em [-1,1], a função f(x) varia de pi (quando o argumento é -1) até 0 (quando o argumento é 1), alcançando pi mas nunca atingindo 0. Portanto a imagem (contradomínio) de f é (0,pi].

Resposta

Domínio: [ -tfrac12,infty); Contradomínio: (0,pi].

Exercícios relacionados